Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=1\\\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)x^4+a\left(a+b\right)y^4=ab\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2x^4+a^2y^4-2abx^2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx^2-ay^2\right)^2=0\)
\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2016}}{a^{1008}}=\frac{y^{2016}}{b^{1008}}=\frac{1}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2016}}{a^{1008}}+\frac{y^{2016}}{b^{21008}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
Em vào câu hỏi tương tự tham khảo:
Ta có: \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=1\)
Khi đó: \(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b}\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\right)=x^4+2x^2y^2+y^4\)
<=> \(\frac{b}{a}x^4+\frac{a}{b}y^4=2x^2y^2\)
<=> \(\frac{x^4}{a^2}+\frac{y^4}{b^2}-\frac{2x^2y^2}{ab}=0\)
<=> \(\left(\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}\right)^2=0\)
<=> \(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)( dãy tỉ số bằng nhau)
Khi đó: \(\frac{x^{2016}}{a^{1008}}+\frac{y^{2016}}{b^{1008}}=2\frac{x^{2016}}{a^{1008}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1008}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2=1\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}\ge\dfrac{1}{a+b}=VP\)
Dấu "=" khi \(\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}\)\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}=\dfrac{x^2+y^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}\Rightarrow a+b=\dfrac{a}{x^2}\Rightarrow\left(a+b\right)^n=\dfrac{a^n}{x^{2n}}\)
Xét \(VT\) của biểu thức cần c.m:
\(VT=\left(\dfrac{x^2}{a}\right)^n+\left(\dfrac{y^2}{b}\right)^n=2\cdot\dfrac{x^{2n}}{a^n}\)
Và \(VP=\dfrac{2}{\left(a+b\right)^n}=\dfrac{2}{\dfrac{a^n}{x^{2n}}}=2\cdot\dfrac{x^{2n}}{a^n}\)
Vậy có ĐPCM
Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
áp dụng bđt svacxơ, ta có
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
dấu = xảy ra <=>\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)
nên \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
,mặt khác, ta có \(\frac{2}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{1}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(x^2+y^2\right)^n}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(2.x^2\right)^n}{\left(2.a\right)^n}=2.\frac{2^2.x^{2n}}{2^2.a^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
từ 2 điều trên => \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=\frac{2}{\left(a+b\right)^n}\)