Câu hỏi của Văn Đức Dương Nguyễn

Question

Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn điều kiện x³+ 1/y+1 và y³+1/x+1 thuộc Z.Chứng minh rằng:

a)x³+1 chia hết cho y+1

b)x³y³- 1...

Huynhlong · Accepted Answer

Chúng ta cần chứng minh các điều kiện sau cho các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$ và $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Bài toán phần a)

Chứng minh rằng $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$.

Giải: Ta đã biết rằng $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$, tức là:

$\frac{x^{3} + 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .$

Ta có thể xem xét $x^{3} + 1$ dưới dạng nhân tử:

$x^{3} + 1 = \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .$

Ta cần chứng minh rằng $\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)$ chia hết cho $y + 1$. Điều này có nghĩa là $y + 1$ là ước của $x^{3} + 1$, hay là:

$y + 1 \mid \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .$

Giả sử rằng $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$, thì sẽ có một số $k$ sao cho:

$x^{3} + 1 = k \left(\right. y + 1 \left.\right) ,$

tức là $k$ là một số nguyên. Như vậy, $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$, và bài toán đã được chứng minh cho phần a.

Bài toán phần b)

Chứng minh rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Giải: Ta cần chứng minh rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$, tức là:

$\frac{x^{3} y^{3} - 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .$

Ta có thể biến đổi $x^{3} y^{3} - 1$ theo công thức phân tích đa thức:

$x^{3} y^{3} - 1 = \left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right) .$

Ta cần chứng minh rằng $\left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right)$ chia hết cho $y + 1$.

Giả sử rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$, ta có:

$x^{3} y^{3} - 1 = m \left(\right. y + 1 \left.\right) ,$

với một số nguyên $m$, do đó $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$, hoàn thành bài toán phần b.

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng:

a) $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$,
b) $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Câu trả lời:

Chúng ta cần chứng minh các điều kiện sau cho các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$ và $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Bài toán phần a)

Chứng minh rằng $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$.

Giải: Ta đã biết rằng $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$, tức là:

$\frac{x^{3} + 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .$

Ta có thể xem xét $x^{3} + 1$ dưới dạng nhân tử:

$x^{3} + 1 = \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .$

Ta cần chứng minh rằng $\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)$ chia hết cho $y + 1$. Điều này có nghĩa là $y + 1$ là ước của $x^{3} + 1$, hay là:

$y + 1 \mid \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .$

Giả sử rằng $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$, thì sẽ có một số $k$ sao cho:

$x^{3} + 1 = k \left(\right. y + 1 \left.\right) ,$

tức là $k$ là một số nguyên. Như vậy, $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$, và bài toán đã được chứng minh cho phần a.

Bài toán phần b)

Chứng minh rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Giải: Ta cần chứng minh rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$, tức là:

$\frac{x^{3} y^{3} - 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .$

Ta có thể biến đổi $x^{3} y^{3} - 1$ theo công thức phân tích đa thức:

$x^{3} y^{3} - 1 = \left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right) .$

Ta cần chứng minh rằng $\left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right)$ chia hết cho $y + 1$.

Giả sử rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$, ta có:

$x^{3} y^{3} - 1 = m \left(\right. y + 1 \left.\right) ,$

với một số nguyên $m$, do đó $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$, hoàn thành bài toán phần b.

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng:

a) $x^{3} + 1$ chia hết cho $y + 1$,
b) $x^{3} y^{3} - 1$ chia hết cho $y + 1$.

Bài toán phần a)

Bài toán phần b)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bài toán phần a)

Bài toán phần b)

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP