Question

[tep.]

Cho các số nguyên a,b, c,d thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-8d^3\right)\) Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3.

Answer 1

[Xyz OLM]

Ta có a³ + b³ = 2(c³ - 8d³) 

<=> a³ + b³ = 2c³ - 16d³

<=> a³ + b³ + c³ + d³ = 3(c³ - 5d³) \(⋮3\)(1) 

Xét hiệu a³ + b³ + c³  + d³ - (a + b + c + d)

= (a³ - a) + (b³ - b) + (c³ - c) + (d³ - d)

= (a - 1)a(a + 1)  + (b  - 1)b(b + 1) + (d - 1)d(d + 1) \(⋮3\) (tổng các tích 3 số nguyên liên tiếp) 

=>  a³ + b³ + c³  + d³ - (a + b + c + d) \(⋮\)3 (2) 

Từ (1) và (2) => a + b + c + d \(⋮3\)