Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) Chứng minh: \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}\) (1)
Xét hiệu: \(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{a\left(b+d\right)-b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+ad-ab-bc}{b\left(b+d\right)}=\frac{ad-bc}{b\left(b+d\right)}\)
Vì a/b > c/d ; b; d > 0 => ad > bc => ad - bc > 0 .T a có b(b +d) > 0 nên Hiệu trên > 0 => \(\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}\)
+) Chứng minh: \(\frac{a+c}{b+d}>\frac{c}{d}\)
Xét hiệu: \(\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a+c\right)d-c\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ad-bc}{b.\left(b+d\right)}>0\)
=> \(\frac{a+c}{b+d}>\frac{c}{d}\) (2)
Từ (1)(2 ta có đpcm
đặt \(k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}=k\)
mà \(k=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)(đpcm)
b) đặt \(k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{b-d}=\frac{bk-dk}{b-d}=\frac{k\left(b-d\right)}{b-d}=k\)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{b-d}=k\)
mà \(k=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{b-d}=\frac{c}{d}\)(đpcm)
Ta có:\(\frac{3a+b+c+d}{a}=\frac{a+3b+c+d}{b}=\frac{a+b+3c+d}{c}=\frac{a+b+c+3d}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\a=b=c=d\end{cases}}\)
\(TH1:a+b+c+d=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-\left(c+d\right)\\b+c=-\left(a+d\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow Q=\left(\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}\right)^2+\left(\frac{-\left(a+d\right)}{a+d}\right)^2+\left(\frac{c+d}{-\left(c+d\right)}\right)^2+\left(\frac{a+d}{-\left(a+d\right)}\right)^2\)
\(\Rightarrow Q=\left(-1\right)^2\cdot4=1\cdot4=4\)
\(TH2:a=b=c=d\)
\(\Rightarrow Q=\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2=1^2\cdot4=1\cdot4=4\)
Vậy Q=4
a) Vì \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) và \(b.d>0\) nên suy ra \(ad< bc\).
Tách bất đẳng thức kép cần chứng minh thành 2 bất đảng thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) và \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< \left(a+c\right)b\) (do b, d > 0)
\(\Leftrightarrow ab+ad< ab+cb\)
\(\Leftrightarrow ad< cb\)
Bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) đúng.
Ta cần chứng minh tiếp:
\(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)d< c\left(b+d\right)\) do b.d > 0
\(\Leftrightarrow ad+cd< cb+cd\)
\(\Leftrightarrow ad< cb\)
Bất đẳng thức cuối đúng do giả thiết.
Vậy bài toán được chứng minh
b) Áp dụng câu a ta có:
Từ \(\frac{-1}{3}< \frac{-1}{4}\) => \(\frac{-1}{3}< \frac{-1-1}{3+4}< \frac{-1}{4}\)
Ta lấy phân số xen giữa là \(-\frac{2}{7}\) và ta có: \(\frac{-1}{3}< \frac{-2}{7}< \frac{-1}{4}\)
Áp dụng tiếp kết quả câu a ta được:
\(\frac{-1}{3}< \frac{-1-2}{3+7}< \frac{-2}{7}< \frac{-2-1}{7+4}< \frac{-1}{4}\)
Hay là:
\(\frac{-1}{3}< \frac{-3}{10}< \frac{-2}{7}< \frac{-3}{11}< \frac{-1}{4}\)
Và 3 phân số xen giữa là: \(-\frac{3}{10};-\frac{2}{7};-\frac{3}{11}\)
a, Ta chứng minh: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\), biết \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{cd}{bd}\)vì \(b>0;d>0\Rightarrow ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow ab+d< ba+c\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}\)
Tương tự: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\). Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
b, \(\frac{-1}{3}=\frac{-16}{48}< \frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}< \frac{-12}{48}=\frac{-1}{4}\)
Vậy 3 số hữu tỉ đó là: \(\frac{-15}{48};\frac{-14}{48};\frac{-13}{48}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
=> \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
a, Ta có:\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{bk-b}{bk+b}=\frac{b.\left(k-1\right)}{b.\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\left(1\right)\)
Lại có \(\frac{c-d}{c+d}=\frac{dk-d}{dk+d}=\frac{d.\left(k-1\right)}{d.\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
b, Ta có \(\frac{a.b}{c.d}=\frac{bk.b}{dk.d}=\frac{b^2}{d^2}\left(1\right)\)
Lại có \(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\frac{b^2.\left(k+1\right)^2}{d^2.\left(k+1\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
Ta có với a,b,c,d là các số thực khác 0
\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}=\frac{a+b-c+d}{c}=\frac{a+b+c-d}{d}=\frac{b+c+d-a}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}+1=\frac{a+b-c+d}{c}+1=\frac{a+b+c-d}{d}+1=\frac{b+c+d-a}{a}+1\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)
Ta có M= \(\left(\frac{a+c+d}{b}\right)\left(\frac{a+b+d}{c}\right)\left(\frac{a+b+c}{d}\right)\left(\frac{b+c+d}{a}\right)\)
=> M= 3.3.3.3
=> M =81
Áp dụng TC cuae DTSBN ta có:
a-b+c+d/b = a+b-c+d/c = a+b+c-d/d = b+c+d-a/a = \(\frac{a-b+c+d+a+b-c+d+a+b+c-d+b+c+d-a}{b+c+d+a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)
=> a-b+c+d/b = 3 => a-b+c+d = 3b => a+c+d = 4b
a+b-c+d/c = 3 => a+b-c+d = 3c => a+b+d = 4c
a+b+c-d/d = 3 => a+b+c-d = 3d => a+b+c = 4d
b+c+d-a/a = 3 => b+c+d-a = 3a => b+c+d = 4a
=> M = \(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+d\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)}{abcd}=\frac{4d.4c.4a.4b}{abcd}=\frac{256abcd}{abcd}=256\)
Vậy M = 256
$\dfrac{a+b+c-d}{d}=\dfrac{b+c+d-a}{a}=\dfrac{c+d+a-b}{b}=\dfrac{d+a+b-c}{c}$
Cộng 2 vào mỗi đẳng thức ta có:\(\begin{align} & 2+\dfrac{a+b+c-d}{d}=\dfrac{b+c+d-a}{a}+2=\dfrac{c+d+a-b}{b}+2=\dfrac{d+a+b-c}{c}+2 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{a+b+c+d}{d}=\dfrac{a+b+c+d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{b}=\dfrac{a+b+c+d}{c}\Rightarrow a=b=c=d \\ \end{align}\)
Thay vào P ta được: $P=\left( 1+2 \right)\left( 1+2 \right)\left( 1+2 \right)\left( 1+2 \right)={{3}^{4}}=81$
Ta có
a/b<c/d \(\Leftrightarrow\)ad<bc (1)
Thêm ab vào 2 vế của (1) ta được:
ad+ab<bc+ab hay a(b+d)<b(a+c) =>a/b<a+c/b+d (2)
Thêm cd vào 2 vế của (2) ta được:
ad+cd<bc+cd hay d(a+c)<c(b+d) =>c/d>a+c/b+d (3)
Từ (2) và (3) suy ra:a/b<a+c/b+d<c/d
**** bạn
a, \(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}\)
\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}=\frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)
VCif a/b<c/d => ad<bc
=> ab + ad < ab +ad
=> a/b < (a+c) / (b+d) (1)
Cm tương tự :
(a+c) / (b+d) < c/d (2)
Từ 1 và 2 => DPCM