Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT=x\sqrt{y}+\frac{1}{2}y\sqrt{4\left(2x+2y\right)}\le\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{1}{2}y\left(\frac{4+2x+2y}{2}\right)\)
\(=\frac{2xy+2x}{4}+\frac{4y+2xy+2y^2}{4}=\frac{2\left(x+2y\right)+4xy+2y^2}{4}\)
\(=\frac{2\left(x+2y\right)+\frac{2}{3}.3y\left(2x+y\right)}{4}\le\frac{2\left(x+2y\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{2\left(x+2y\right)}{2}\right)^2}{4}\le3\) (*)
Đẳng thức xảy ra khi x= y = 1.
Is that true? Bài này khó nhằn đấy, Đối với mình việc nhìn ra chỗ (*) ko dễ chút nào, chả biết có tính sai gì ko nữa..
5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0
=>(4x^2+8xy+4y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)=0
=>(2x+2y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2=0
tổng 3 biểu thức không âm = 0 <=> chúng đều = 0
<=>2(x+y)=x-1=y+1=0
=>x=1;y=-1
Thay vào M ........
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)
\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)
\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)
\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)
\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Với y = 0 thi 1 - xy = 0 là bình phương của số hữu tỷ
Với y \(\ne0\)thì ta chia 2 vế cho y4 thì được
\(\frac{x^5}{y^4}+y=2\frac{x^2}{y^2}\)
\(\Leftrightarrow-y=\frac{x^5}{y^4}-2\frac{x^2}{y^2}\)
\(\Leftrightarrow-xy=\frac{x^6}{y^4}-2\frac{x^3}{y^2}\)
\(\Leftrightarrow\Leftrightarrow1-xy=\frac{x^6}{y^4}-2\frac{x^3}{y^2}+1=\left(\frac{x^3}{y^2}-1\right)^2\)
Vậy 1 - xy là bình phương của 1 số hữu tỷ
Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel
\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
x+y=k (k là hằng số > 0)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P\ge\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\ge\frac{\left(2k+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2k+\frac{4}{k}\right)^2}{2}=\frac{\left(\frac{2k^2+4}{k}\right)^2}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = k/2
Vậy ...
k bằng bao nhiêu bạn tự thay số nhé :c mình chỉ làm dàn vậy thôi :>
\(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=1/2
Có vẻ kết quả bị sai Huy ơi.
Diệp thay kết quả cuối cùng 8 ------------> 18 nhé!