Question

[Lê Minh Đức]

Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x+y+z=1\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(S=\frac{xy+yz+zx-xyz}{xy+yz+zx+xyz+2}\)

Answer 1

[Lê Minh Đức]

\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)

\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)

\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)

\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)

\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)

\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)

Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)

\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)

Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)