LP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PN
11 tháng 7 2020
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta được :
\(a+b\ge2\sqrt[2]{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt[2]{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt[2]{ca}\)
Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(2\sqrt[2]{ab}\right)\left(2\sqrt[2]{bc}\right)\left(2\sqrt[2]{ca}\right)\)
\(< =>B\ge8\sqrt[2]{a^3b^3c^3}=8abc\)
Mặt khác theo giả thiết ta có : \(abc=8\)
Khi đó \(B\ge8.8=64\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\)
Vậy \(Min_B=64\)khi \(a=b=c=2\)
VV
20 tháng 11 2017
vì a,b,c dương => a+b khác 0
b+c khác 0
a+c khác 0
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(E=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\)
vậy E = \(\frac{1}{2}\)
9 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)}{4\left(b+c\right)}}=a\)
Tương tự ta có: \(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b;\) \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế thì được:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\).
Vậy \(Min\) \(E=\frac{3}{2}\). Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c.
NQ
0
N
1 tháng 9 2019
Dat \(\hept{\begin{cases}A=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\\B=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Ta co:\(A=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge2+2+2=6\left(1\right)\)
\(B=\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Cong ve voi ve cua (1) va (2) ta duoc:
\(P=A+B\ge6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
2T
1 tháng 9 2019
Chứng minh ĐBT:\(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\left(a,b\ne0\right)\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\frac{b+c}{a}+\frac{a}{b+c}\ge2\)
\(\frac{a+c}{b}+\frac{b}{c+a}\ge2\)
\(\frac{a+b}{c}+\frac{c}{b+a}\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Vậy \(P_{min}=6\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=a+c\\c=a+b\end{cases}}\)