K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 10 2019

Có vài cách giải nhưng mình thấy cách này nhanh và đẹp ne.

\(\sqrt{2017a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự rồi cộng lại, ta được:

\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)

25 tháng 10 2019

Luân Đào: đoạn \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\) ngược dấu thì phải anh ơi:))

Áp dụng BĐT Bunyakovski thì \(\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2\)

Từ đó..

22 tháng 5 2019

Ta có:

\(\frac{ab}{\sqrt{2017c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}\)

\(=\frac{ab}{\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM (cô si): \(ab.\frac{1}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}\)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế,ta được:

\(A\le\frac{ab}{2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{2\left(b+c\right)}+\frac{bc}{2\left(a+b\right)}+\frac{bc}{2\left(a+c\right)}+\frac{ca}{2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{2\left(a+b\right)}\)

Thu gọn lại bằng cách cộng những phân thức cùng mẫu và rút gọn phân thức,ta được:

\(A\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{2017}{2}\).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)

Vậy...

5 tháng 1 2017

Ap dông B§T C-S ta cã:

\(\frac{a}{a+\sqrt{2016a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\)

\(\le\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\). T­uong tù ta cx cã: 

\(\frac{b}{b+\sqrt{2016b+ca}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{c+\sqrt{2016c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta dc:

\(VT\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

P/s:may mk bi loi Unikey r` mk dg ban chua kip chinh lai bn gang doc 

29 tháng 5 2018

bạn thế 2019=a+b+c de thoi ma

29 tháng 5 2018

Ta có: \(2019a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2\)

\(\Rightarrow a+\sqrt{2019a+bc}\ge a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}\le\frac{a}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự cộng vào suy ra điều phải chứng minh

1,

\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)