Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: a2+b2+c2=1
Tìm GTNN của C= \(\frac{bc}{a}\)+\(\frac{ac}{b}\)+\(\frac{ab}{c}\)
\(a^2+b^2\le1+ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-\left(a+b\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)\) (Do \(a^3+b^3=a^5+b^5\) )
\(\Leftrightarrow a^6+2a^3b^3+b^6\le a^6+ab^5+a^5b+b^6\)
\(\Leftrightarrow2a^3b^3\le ab^5+a^5b\)
\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5+2a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4+2a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b>0\))
Vậy \(a^2+b^2\le1+ab\)
a) Ta có ; \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^2+2ab+b^2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=2\)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại a = b = 1
b) Ta có : \(B=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+4\)
Lại có : \(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\) ; \(b^2+\frac{1}{b^2}\ge2\)
\(\Rightarrow B\ge2+2+4=8\). Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{1}{a^2}\\b^2=\frac{1}{b^2}\\a+b=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a=b=1\)(vì a,b>0)
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 tại a = b = 1
b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:
\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)
\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương , ta có :
\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab=2\) ( Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 )
Do đó : \(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{4}{a+b}\) ≥ \(2\left(a+b+1\right)+\dfrac{4}{a+b}\)
⇔ \(A\) ≥ \(2+2\left(a+b\right)+\dfrac{4}{a+b}\)
⇔ \(A\) ≥ \(2+\left(a+b\right)+\left[\left(a+b\right)+\dfrac{4}{a+b}\right]\)
⇔ \(A\) ≥ \(2+2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b}}=2+2+2\sqrt{4}=8\)
⇒ \(A_{Min}=8\) ⇔ a = b = 1
Kiu m nhoa