Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)
=\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)
do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)
dạt a+b = t thì t>=4
cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)
dau = xay ra khi a=b=2
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
để biểu thức cho đơn giản , ta đặt x=a+1,y=b+1,z=c+1(x,y,z>0)
thì giả thiết thành \(\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\le\frac{z}{z+2}\) .Tìm min xyz
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:\(\frac{z}{z+2}\ge\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)}}\)(1)
từ giả thiết :\(\frac{1}{x+1}\le\frac{z}{z+2}-\frac{3}{y+3}\Leftrightarrow1-\frac{1}{x+1}\ge1-\frac{z}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy 1 lần nữa: \(\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(z+2\right)\left(y+3\right)}}\)(2)
tương tự ta cũng có: \(\frac{y}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(z+2\right)\left(x+1\right)}}\)(3),
cả 2 vế các bất đẳng thức (1),(2)và (3) đều dương, nhân vế với vế:
\(\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)\left(z+2\right)}\ge\frac{8.6}{\left(x+1\right)\left(z+2\right)\left(y+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge48\)
Dấu = xảy ra khi x=2,y=6,z=4 hay a=1,b=5,z=3
Ta co:
\(P\ge21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+\frac{2017.9}{2}\)
\(=21\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\left(a+b+c\right)^2+\frac{18153}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{P}{\left(a+b+c\right)^2}\ge21\left[\left(\frac{a}{a+b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{a+b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b+c}\right)^2\right]+12+\frac{\frac{18153}{2}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Dat \(\left(\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\frac{a^2}{x^2}\)
BDT tro thanh:
\(\frac{P}{\left(a+b+c\right)^2}\ge21\left(x^2+y^2+z^2\right)+12+\frac{18153}{2\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{P}{\frac{a^2}{x^2}}\ge21\left(x^2+y^2+z^2\right)+12+\frac{18153}{2\left(a+b+c\right)^2}\ge21.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+12+\frac{18153}{8}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2P}{a^2}\ge7+12+\frac{18153}{8}\)
Ta lai co:\(x=\frac{a}{a+b+c}\ge\frac{a}{2}\Rightarrow a^2\le4x^2\)
Suy ra:\(\frac{x^2P}{a^2}\ge\frac{x^2P}{4x^2}=\frac{P}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{P}{4}\ge\frac{18503}{8}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{18503}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vay \(P_{min}=\frac{18503}{2}\)khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Kurosaki Akatsu giải thế thì đề bài cho \(b^2+c^2\le a^2\) để làm gì?
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(P=\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(P=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge4.\sqrt[4]{\frac{b^2}{a^2}.\frac{c^2}{a^2}.\frac{a^2}{b^2}.\frac{a^2}{c^2}}=4.1=4\)
=> \(Min_P=4\)
Ta có:\(a^2+b^2\ge2ab=2\)
\(\Rightarrow A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)\cdot\frac{4}{a+b}\)
\(\ge2\left[\left(a+b+1\right)+\frac{2}{a+b}\right]\)
\(=2+\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)+\left(a+b\right)\)
\(\ge2+2\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{4}{a+b}}+2\sqrt{ab}=2+4+2=8\)(theo Bđt Cô si)
Dấu = khi a=b=1