Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1,VT=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Ta có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)
\(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(VT\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Bây giờ ta cm:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Bất đẳng thức trên luôn đúng
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
1a) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab +b2 ) + ( a2 + 2ac + c2 ) + ( b2 + 2bc + c2 )
= ( a + b )2 + ( a + c )2 + ( b + c )2
1b) 2.( ac - ab - bc + b2 ) + 2.( bc - ba - ac + a2 ) + 2.( ba - bc - ca + c2 )
= 2ac - 2ab - 2bc + 2b2 + 2bc - 2ab - 2ac +2a2 + 2ab - 2bc - 2ac + 2c2
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc
= ( a2 - 2ab + b2 ) + (a2 - 2ac + c2 ) + (b2 - 2bc + c2 )
= (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2