Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(C=\dfrac{a^2}{a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2+2ac}+\dfrac{c^2}{c^2+2ab}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ac-ab}+\dfrac{b^2}{b^2+ac-ba-bc}+\dfrac{c^2}{c^2+ab-ca-cb}\)
\(=\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=-\left(\dfrac{a^2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\dfrac{b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{c^2}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\right)\)
\(=-\left(\dfrac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)
\(=-\left(\dfrac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)=1\)
cho mình hỏi bạn biết làm chưa nếu rồi thì giúp mình được không ạ mình ko biết làm
Đầu tiên ta cm:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(tự cm)
Áp dụng:\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
Lại có:\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=\left(a+b+c\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\ge\dfrac{9}{1}=9\)
\(\Rightarrowđpcm\)
coi lại dấu " = " xảy ra khi nào dùm t ... , bài lm của m hay mak kl như cái qq ...
Ta có : 1/M=a2+2bc+b2+2ac+c2+2ab
=(a+b+c)2 ➝ M=1/(a+b+c)2
mik nghĩ là thế
Có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ac}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)
\(1\Leftrightarrow a^2+2bc=a^2+bc-ab-ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
\(2\Leftrightarrow b^2+2ac=b^2+ac-ab-bc\)
\(\Leftrightarrow b^2+2ac=b\left(b-c\right)-a\left(b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2+2ac=\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)
\(3.c^2+2ab=c^2+ab-bc-ac\)
\(\Leftrightarrow c^2+2ab=c\left(c-b\right)-a\left(c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{b-c-a+c+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(\Rightarrow M=0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^{2014}+\underbrace{1+1+....+1}_{1006}\geq 1007\sqrt[1007]{a^{2014}}=1007a^2\)
\(\Leftrightarrow a^{2014}+1006\geq 1007a^2\)
\(\Rightarrow a^{2014}+2013\geq 1007(a^2+1)\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2014}+2013}{b^2+1}\geq \frac{1007(a^2+1)}{b^2+1}\). Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(A\geq 1007\left(\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\right)\)
\(\geq 1007.3\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{(b^2+1)(c^2+1)(a^2+1)}}=3021\) (theo AM-GM)
Vậy \(A_{\min}=3021\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có kết quả tổng quát hơn như sau:
Cho $a,b,c \neq 0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0.$
Chứng minh rằng $$S={\frac {k{a}^{2}-k-1}{{a}^{2}+2\,bc}}+{\frac {{b}^{2}k-k-1}{2\,ac+{b}^{2}}}+{\frac {{c}^{2}k-k-1}{2\,ab+{c}^{2}}}=k$$