Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hiệu:
(a + b + c)(x + y + z) - 3(ax + by + cz)
= a(x + y + z) - 3ax + b(x + y + z) - 3by + c(x + y + z) - 3cz
= a(x + y + z - 3x) + b(x + y + z - 3y) + c(x + y + z - 3z)
= a(y + z - 2x) + b(x + z - 2y) + c(x + y - 2z)
= a[(y - x) - (x - z)] + b[(z - y) - (y - x)] + c[(x - z) - (z - y)]
= (y - x)(a - b) + (x - z)(c - a) + (z - y)(b - c) \(\ge0\)
do \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\left(đpcm\right)\)
Đây là bất đẳng thức Trê-bư-sep nhé :)
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(x+y+z\right)-3ax+b\left(x+y+z\right)-3by+c\left(x+y+z\right)-3cz\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)+b\left(x+z-2y\right)+c\left(x+y-2z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(y-x\right)+a\left(z-x\right)+b\left(x-y\right)+b\left(z-y\right)+c\left(x-z\right)+c\left(y-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(a-b\right)+\left(z-x\right)\left(a-c\right)+\left(z-y\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\x\le y\le z\end{cases}}\)
Vậy bđt ban đầu dc chứng minh
http://olm.vn/hoi-dap/question/58264.html?auto=1
vào đây thAM khảo nhé.
cách nhanh nhất là nhân tung ra rồi chuyển vế rút gọn là xong
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
a,b dể tự làm nha
c)ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2ab-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) mà a+b=1
\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
lại có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) mà \(ab\le\frac{1}{4}\)
tahy vào có \(a^2+b^2\ge2\times\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)
a/ có \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}+b^2+b+\frac{1}{4}+c^2+c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\left(c+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b/ \(2a^2+2b^2+8-2ab+4\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+4+b^2+4b+4+a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(a+b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
bài 2 áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
bài 3: giả sử \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)cmtt \(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge6\)
áp dụng bất đăng thức trên ta đc
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
bái 4: áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng cái, nhân vế theo vế là đc nhé bn