Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x^2-24x+3y^2+18y+36\)
\(=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+\left(12x^2+24x+12\right)+\left(3y^2+18y+9\right)+15\)
\(=\left[\left(x-1\right)^2-1\right]\left[\left(y+3\right)^2-9\right]+12\left(x-1\right)^2+3\left(y+3\right)^2+15\)
\(=3\left(x-1\right)^2+2\left(y+3\right)^2+15\)
Do đó \(P\ge15\)
\(\Rightarrow P>0\)
Suy ra P luôn dương
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
Do \(a,b,c>\frac{25}{4}\)(gt) nên suy ra \(2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)
Áp dụng bđt cô - si cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\)
\(\frac{c}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{b}\right)-15\ge\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{a}\right)\)
Suy ra \(\text{}\text{}\text{Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}\ge15\)
hay \(Q\ge15\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=25\))
Câu 1/ phân tích nhân tử là xong nên không giải.
Câu 2/ Ta có:
\(Q=\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}\)
\(=\dfrac{3\sqrt[3]{125.abc}}{\sqrt[3]{\left(2\sqrt{b}-5\right).5.\left(2\sqrt{c}-5\right).5.\left(2\sqrt{a}-5\right).5}}\)
\(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{125abc}}{\sqrt[3]{\dfrac{\left(2\sqrt{a}-5+5\right)^2}{4}.\dfrac{\left(2\sqrt{b}-5+5\right)^2}{4}.\dfrac{\left(2\sqrt{c}-5+5\right)^2}{4}}}\) (Vì \(a,b,c>\dfrac{25}{4}\))
\(=\dfrac{3\sqrt[3]{125abc}}{\sqrt[3]{abc}}=15\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=25\)