Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\)
\(=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-\left(2bc\right)^2\)
\(=\left(b^2-2bc+c^2-a^2\right)\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)\)
\(=\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\)
\(=\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)
b: a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
=>b+c>a và a+b>c và a+c>b
=>b+c-a>0 và a+b-c>0 và a+c-b>0
=>b+c-a>0 và b-(c+a)<0 và a+b-c>0
=>(b+c-a)[b-(c+a)][a+b-c](a+b+c)<0
=>A<0
Cho phân thức : \(\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{x^2+z^2-y^2}{2xz}=1\)
a.CMR trong ba sốx,y,z có một số bằng tổng hai số kia
b.CMR trong phân thức đã cho,có một phân thức bằng -1,hai phân thức còn lại bằng 1
Lời giải :
a) Để chứng tỏ trong 3 số x,y,z có một số bằng tổng hai số kia,ta sẽ chứng minh (x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) = 0 . Từ giả thiết ta có :
(x2 + y2 - z2)z + (y2 + z2 - x2)x + (z2 + x2 - y2)y = 2xyz
Thêm bớt 2xyz ta có :
(x2 + y2 - z2 + 2xy)z + (y2 + z2 - x2 - 2yz)x + (z2 +x2 - y2 - 2xz)y = 0
=> (x + y + z)(x + y - z)z + (y - z + x)(y - z - x)x + (z - x + y)(z - x + y)y = 0
Đặt x - y - z làm thừa số chung ở vế trái:
\(\left(x+y-z\right)\left(y^2-x^2+2xy-y^2\right)=0\)
=> \(\left(x+y-z\right)\left(z+x-y\right)\left(z-x+y\right)=0\)
Nếu x + y - z = 0 => z = x+ y
Nếu z + x - y = 0 thì y = x + z
Nếu z - x + y = 0 thì x = y + z
b) Trường hợp : z = x + y
\(\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=\frac{x^2+y^2-\left(x+y\right)^2}{2xy}=\frac{x^2+y^2-x^2-2xy-y^2}{2xy}=\frac{-2xy}{2xy}=-1\)
\(\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}=\frac{y^2+x^2-2xy-y^2-x^2}{2y\left(x+y\right)}=\frac{2y\left(x+y\right)}{2y\left(x+y\right)}=1\)
\(\frac{z^2+x^2-y^2}{2xz}=\frac{x^2+2xy+y^2+x^2-y^2}{2x\left(x+y\right)}=\frac{2x\left(x+y\right)}{2x\left(x+y\right)}=1\)
Trường hợp y = x + z
\(\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=\frac{x^2+\left(x+z\right)^2-z^2}{2x\left(x+z\right)}=\frac{2xz+2x^2}{2x\left(x+z\right)}=\frac{2x\left(x+z\right)}{2x\left(x+z\right)}=1\)
\(\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}=\frac{\left(x+z\right)^2+z^2-x^2}{2\left(x+z\right)z}=\frac{2z^2+2xz+x^2-x^2}{2z\left(x+z\right)}=\frac{2z\left(x+z\right)}{2z\left(x+z\right)}=1\)
\(\frac{z^2+x^2-y^2}{2xz}=\frac{z^2+x^2-\left(x+z\right)^2}{2xz}=\frac{-2xz}{2xz}=-1\)
Tương tự
Lần sau phải sửa lại đề bài cho thật kĩ nhé :)
a,
Đặt: \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=x\\\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=y\\\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=z\end{cases}}\)
a, Ta chứng minh \(x+y+z>1\)hay \(x+y+z-1>0\left(1\right)\)
Ta có BĐT \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+1\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)>0\left(2\right)\)
Ta có: \(x+1=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+1=\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}\)
Và: \(y-1=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}-1=\frac{\left(b-c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2bc}\)
Và: \(z-1=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}-1=\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ac}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ac}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\frac{c\left(a+b+c\right)+a\left(b-c-a\right)-b\left(c-a+b\right)}{2abc}\right]>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]>0\left(abc>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)>0\)
BĐT cuối đúng vì \(a,b,c\)thỏa mãn \(BĐT\Delta\left(đpcm\right)\)
b, Để \(A=1\Leftrightarrow\left(z+1\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)=0\)
Từ trên ta suy ra được 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: \(a+b-c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-1=0\\z-1=0\end{cases}}\hept{\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\y=-1\\z=1\end{cases}}\)
- Trường hợp 2:\(a-b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2ab}=0\\y-1=0\\z+1=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=-1\end{cases}}\)
- Trường hợp 3: \(-a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+1=\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}\\z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-1\\z=1\end{cases}}}\)
Từ các trường trên ta thấy trường hợp nào cũng có 2 trong 3 phân thức \(x,y,z=1\)và còn lại \(=-1\)
Bài 4 :
Thay x=y+5 , ta có :
a ) ( y+5)*(y5+2)+y*(y-2)-2y*(y+5)+65
=(y+5)*(y+7)+y^2-2y-2y^2-10y+65
=y^2+7y+5y+35-y^2-2y-2y^2-10y+65
= 100
Bài 5 :
A = 15x-23y
B = 2x-3y
Ta có : A-B
= ( 15x -23y)-(2x-3y)
=15x-23y-2x-3y
=13x-26y
=13x*(x-2y) chia hết cho 13
=> Nếu A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13 và ngược lại
thiếu đề
bt \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2+b^2}{2ca}\)