Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ :\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^4+y^4+z^4=3xyz\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=\left(x+y+z\right)xyz=x^2yz+xy^2z+xyz^2\)
Áp dụng AM - GM ta có :
\(x^2yz=x.x.y.z\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)
\(xy^2z=x.y.y.z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)
\(xyz^2=x.y.z.z\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)
\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)
Mà đề lại cho \(x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với x + y + z = 3 \(\Rightarrow x=y=z=1\)
Thay vào M ta được : \(M=2000.1^{2016}+1^{2016}+1^{2016}=2002\)
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{6x^2y^2z^2}\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
mình nhầm :) làm lại nhé
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}{6xyz}\le\frac{xy+yz+zx}{2xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
nhận liên hợp ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
mà theo đề bài ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
==> \(\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\)
tương tự ta có \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\)
trừ từng vế 2 pt trên ta có 2x=-2y <=>x=-y
đến đây ok rùi nhé bạn
Áp dụng bđt cosi ta có:
\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4.y^4}=x^2.y^2\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^4+z^4}{2}\ge y^2z^2\)
\(\dfrac{z^4+x^4}{2}\ge x^2z^2\)
Vậy \(\dfrac{x^4+y^4+y^4+z^4+z^4+x^4}{2}\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\left(1\right)\)
Ta lại có \(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2}{2}\ge\sqrt{x^2y^2y^2z^2}=xy^2z\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{y^2z^2+z^2x^2}{2}\ge yz^2x\)
\(\dfrac{z^2x^2+x^2y^2}{2}\ge zx^2y\)
Vậy \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xz^2y+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^4=y^4=z^4\\x^2y^2=y^2z^2=z^2x^2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà x+y+z=3\(\Rightarrow x=y=z=1\)
Vậy M=\(x^{2016}+y^{2916}+z^{2016}=1^{2016}+1^{2916}+z^{2016}=1+1+1=3\)