Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình đánh nhầm, đề là cho a,b,c là các số thực dương tổng bằng 1
\(3a^2+4ab+b^2=3a^2+3ab+ab+b^2=3a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)=\left(3a+b\right)\left(a+b\right)\)
xong AM -GM
Ta có: \(3a^2+2ab+3b^2=m\left(a+b\right)^2+n\left(a-b\right)^2\)
\(=\left(m+n\right)a^2+2\left(m-n\right)ab+\left(m+n\right)b^2\)
Đồng nhất hệ số ta được \(\hept{\begin{cases}m+n=3\\m-n=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}}\)
Do đó \(3a^2+2ab+3b^2=2\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge2\left(a+b\right)^2\)
Tương tự với mấy cái BĐT còn lại thay vào ta được:
\(P\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{2}\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}=6\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.
P/s: Em không chắc đâu ạ!
Ta có: P=∑\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}\)=∑\(\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}\ge\)
∑\(\sqrt{2}\left(a+b\right)\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=6\sqrt{2}\)
Mình đặt biểu thức đó là P
Ta có : \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}=\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{2\left(a+b\right)^2}=\sqrt{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}\ge\sqrt{2}\left(b+c\right)\) , \(\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\ge\sqrt{2}\left(c+a\right)\)
Suy ra : \(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
\(\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)+\sqrt{2}\left(b+c\right)+\sqrt{2}\left(c+a\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)
+ ) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM :
\(a+b+c=a+1+b+1+c+1-3\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3=2.3-3=3\)
Suy ra \(P\ge2\sqrt{2}.3=6\sqrt{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=6\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\\\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=1\\a=b=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c=1\)
Đề thi học kỳ 1 trường Ams
**Min
Từ \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2\le1;b^2\le1;c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\le1;b\le1;c\le1\Rightarrow a^2\le a;b^2\le b;c^2\le c\)
Khi đó:
\(\sqrt{a+b^2}\ge\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{b+c^2}\ge\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c+a^2}\ge\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)
Ta có:
\(\sqrt{1-c^2}\ge1-c^2\Leftrightarrow1-c^2\ge1-2c^2+c^4\Leftrightarrow c^2\left(1-c^2\right)\ge0\left(true!!!\right)\)
Tương tự cộng lại:
\(P\ge3-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)
dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) and hoán vị.
**Max
Có BĐT phụ sau:\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\left(ezprove\right)\)
Áp dụng:
\(\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\)
\(\le\sqrt{3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\sqrt{3\left(a+b+c\right)+3}\)
\(\le\sqrt{3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\right)}=\sqrt{3\cdot\sqrt{3}+3}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Em có cách này không biết đúng không.Nếu sai đừng chửi e nha!Em mới lớp 7 thôi.
Từ đề bài suy ra \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow a\left(3-a\right)\ge0\Leftrightarrow3a\ge a^2\)
Tương tự với b và c ta được:
\(K\ge\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}=P\left(a;b;c\right)\)
Đặt \(t=\frac{b+c}{2}\),ta có:
\(P\left(a;t;t\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
\(=P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\sqrt{a^2+1}+2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Xét hiệu:
\(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=\left(\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\right)-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+1}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (anh tự c/m,phải có cái này mới có dấu "=")
Suy ra \(P\left(a;b;c\right)-P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)\ge\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2+4}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}-\sqrt{\left(b+c\right)^2+4}=0\) (Khai căn cái mẫu ra)
Từ đây suy ra \(P\left(a;b;c\right)\ge P\left(a;\frac{b+c}{2};\frac{b+c}{2}\right)=P\left(a;t;t\right)\)
Mặt khác,kết hợp giả thiết suy ra \(a+2t=3\Rightarrow a=3-2t\)
Do đó,ta cần tìm min của: \(P\left(3-2t;t;t\right)=\sqrt{\left(3-2t\right)^2+1}+2\sqrt{t^2+1}\)
Đến đây em bí rồi ạ,để em suy nghĩ tiếp.
Giải xong bài này ra chắc chết... "." chấm cái nhẹ hóng cao nhân!