Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bdt cô si dạng " Rei' ta có
\(x+y+1\le3\sqrt[3]{xy}\)
từ đề bài ta suy ra \(xy=\frac{1}{z}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xy}=\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\)
suy ra \(3\sqrt[3]{xy}=3\sqrt[3]{\frac{1}{z}}=\frac{3}{\sqrt[3]{z}}\)
áp dụng cho các BDT còn lại
\(3\sqrt[3]{yz}=\frac{3}{\sqrt[3]{x}};3\sqrt[3]{xz}=\frac{3}{\sqrt[3]{y}}\)
suy ra \(Q\le\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{z}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{y}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{x}}}=\frac{\sqrt[3]{z}}{3}+\frac{\sqrt[3]{y}}{3}+\frac{\sqrt[3]{x}}{3}\) Nhân ngược lên
vậy
\(Q\le\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{3}\)
áp dụng BDT cô si dạng "Shinra" ta có , đặt tử số = S
\(S=\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{x}\ge3\sqrt[3]{\sqrt[3]{xyz}}\)
có xyz=1 vậy \(3\sqrt[3]{\sqrt[3]{xyz}}=3\)
suy ra \(S\ge3\) ( ngược dấu loại )
cách 2 áp dụng BDT cosi dạng đặc biệt " Gedou rinne Tensei " ta được
lưu ý " Gedou Rinne Tensei" chỉ dùng lúc nguy cấp + tán gái + thể hiện và chỉ lừa được những thằng ngu
không nên dùng trc mặt thầy cô giáo :) .
\(\sqrt[3]{x.1.1}\le\frac{\left(x+2\right)}{3}\)
tương tự vs các BDt còn lại và đặt tử số = S ta được
\(S\le\frac{\left(x+2+y+2+z+2\right)}{3}=\frac{\left(x+y+z+6\right)}{3}=3\)
thay \(S\le3\) vào biểu thức ta được
\(Q\le\frac{3}{3}=1\)
vây Max Q là 1 dấu = xảy ra khi x=y=z=1
Đệch, nói luôn côsi 3 số cho r
Cái này ae nào ko hiểu msg tui, tui dùng điểm rơi giải đc r, dễ hiểu hơn
\(x+y+z=xyz\Rightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)
\(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(P=\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}.\dfrac{2a}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{2b}{a+b}.\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{2c}{c+a}.\dfrac{c}{2\left(c+b\right)}}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{2a}{a+c}+\dfrac{2b}{a+b}+\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{2c}{c+a}+\dfrac{c}{2\left(c+b\right)}\right)=\dfrac{9}{4}\)
\(P_{max}=\dfrac{9}{4}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{7}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}};\dfrac{1}{\sqrt{15}}\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15};\sqrt{15}\right)\)
\(E= {\sum {(yz)^2 \over xy+zx}}\)>=3/2 (AD BĐT Nesbit)
Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1
đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1\)
Ta có : \(x+y=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=c\left(a+b\right)\)
Tương tự : \(y+z=a\left(b+c\right);x+z=b\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow E\ge\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN của E là \(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Bạn tham khảo nhé:
Ta có \(xyz=1\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Áp dụng BĐT sờ- swat,ta có:
\(Q\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}\le1\)(vì \(x+y+z\ge3\))
Vậy max=1
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(1+y^2\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\)
TT...
\(\Rightarrow Q=x+y+z+3-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{1+z^2}-\frac{x^2\left(1+z\right)}{1+x^2}\)
\(\ge6-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{2z}-\frac{x^2\left(z+1\right)}{2x}=6-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)
\(=6-\frac{3+xy+yz+xz}{2}\ge6-\frac{3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=6-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)
Vậy GTNN của Q là 3 khi x = y = z = 1
x,y,z là số thực à khó đấy số dương thì mk còn làm đc
chứ số thực mk chịu
Biến đổi tương đương ta CM được BĐT sau: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)
CM tương tự với các phân thức còn lại
Cộng vế theo vế các BĐT đó ta được:
\(A\le\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)
Vậy Max A=1 <=> x=y=z=1
ĐKXĐ : \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\)
Áp dụng ( a+b)2 \(\ge4ab\)ta có :
( x+ 2y)2 = \(\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4.\left(\frac{2x+y}{2}\right).\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\)
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự : \(\frac{2y+z}{y\left(y+2\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{2z+x}{z.\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
=> \(A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Ta có : \(\sqrt{\left(2x-1\right)1}\le\frac{2x-1+1}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le x\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
\(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}}\)
\(\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Do đó
A \(\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)
Vậy Max A = 3 khi x = y = z = 1
Theo Cô-si ta có:
\(3=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)
Xét:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}=\frac{1}{3}\left[\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+2y\right)}+\frac{\left(y-z\right)^2}{yz\left(y+2z\right)}+\frac{\left(z-x\right)^2}{zx\left(z+2x\right)}\right]\ge0\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le3\)
Ta có: \(xyz=1\)=>\(xy=\frac{1}{z}\)
Theo BĐT cosy, ta có: \(x+y+1\ge3\sqrt[3]{xy}=3\sqrt[3]{\frac{1}{z}}=\frac{3}{3\sqrt[3]{z}}\)
tương tự:\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\)
\(z+x+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y}}=\frac{3}{\sqrt[3]{y}}\)
=> \(Q\le\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{z}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{x}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{y}}}=\frac{\sqrt[3]{z}}{3}+\frac{\sqrt[3]{x}}{3}+\frac{\sqrt[3]{y}}{3}=\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{3}\)
Áp dụng BĐT trên lần nữa ta được \(Q\le\frac{3\sqrt[3]{\sqrt[3]{xyz}}}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Vậy DTLN của Q=1
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1