Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt vế trái là P
\(P=\left(\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{1+\frac{c}{b}}\right)^2+4\left(\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\right)^2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b}{a}=x>0\\\frac{c}{b}=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy=\frac{c}{a}\ge1\)
\(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+4\left(\frac{1}{1+\frac{1}{xy}}\right)^2=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+4\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^2\)
\(P\ge\frac{1}{1+xy}+4\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^2\)
Đặt \(xy=t\ge1\Rightarrow P\ge\frac{1}{1+t}+4\left(\frac{t}{1+t}\right)^2\)
Ta chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{1+t}+4\left(\frac{t}{1+t}\right)^2\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow1+t+4t^2\ge\frac{3}{2}\left(1+t\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8t^2+2t+2\ge3t^2+6t+3\)
\(\Leftrightarrow5t^2-4t-1\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(5t+1\right)\ge0\) (luôn đúng \(\forall t\ge1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(t=1\) hay \(a=b=c\)
1) Ta có ĐK: 0 < a,b,c < 1
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(1-a\right)}}\ge2a\) (BĐT AM-GM cho 2 số a và 1-a)
Tương tự, ta có \(\sqrt{\frac{b}{1-b}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(1-b\right)}}\ge2b\) và \(\sqrt{\frac{c}{1-c}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(1-c\right)}}\ge2c\)
⇒ \(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}\ge2\left(a+b+c\right)=2\)(do a+b+c=1)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c = \(\frac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện a+b+c=1)
Dấu đẳng thức trên không xảy ra được. Vậy ta có bất đẳng thức\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
\(VT=\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^2\)
\(VT\ge\frac{1}{3}\left(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TL :
Bất đẳng thức sai, chẳng hạn với \(a=b=10^{-4};c=0,5-a-b.\).
HT
Thưa anh, nếu \(a=b=10^{-4}\) và \(c=0,5-a-b=0,5-2.10^{-4}\),em bấm máy thì ngay cả khi chỉ có một cái
\(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}\)nó đã bằng \(5.10^{11}\)lớn hơn rất nhiều so với \(\frac{87}{2}\), BĐT vẫn đúng chứ ạ?
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow 4\leq x+y\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)
\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)
Mà:
\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)
\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)
\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)
Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)
Bài 2:
\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)
\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)
\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)
\(\Rightarrow B\geq 24\)
Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Quy đồng giả thiết lên:
\(\Leftrightarrow a\left(1+a\right)\left(1+c\right)+b\left(1+b\right)\left(1+a\right)+c\left(1+c\right)\left(1+b\right)=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca+a^2\left(1+c\right)+b^2\left(1+a\right)+c^2\left(1+b\right)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(1+c\right)+b^2\left(1+a\right)+c^2\left(1+b\right)=1+abc\)