Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)
Hàm \(f\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên R
Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)
\(f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
\(f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)
\(f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(f\left(a\right).f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)^2\left(c-a\right)\left(b-c\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-a>0\\b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)
\(f\left(b\right).f\left(c\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\c-a>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(b\right).f\left(c\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (b;c)
Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
Một cách dựa vào hàm số:
Đặt \(VT=f\left(x\right)\)
- Nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc một trong 3 số bằng 0 thì pt hiển nhiên có nghiệm
- Nếu không có bất cứ cặp nào bằng nhau và đều khác 0, do tính đối xứng của \(f\left(x\right)\) , không làm mất tính tổng quát, giả sử \(a>b>c\) ta có:
\(f\left(a\right)=a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Do \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right)\) cùng dấu với \(a\) \(\Rightarrow a.f\left(a\right)>0\) (1)
\(f\left(b\right)=b\left(b-c\right)\left(b-a\right)\)
Do \(\left(b-c\right)\left(b-a\right)< 0\Rightarrow b.f\left(b\right)< 0\) (2)
\(f\left(c\right)=c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Do \(\left(c-a\right)\left(c-b\right)< 0\Rightarrow c.f\left(c\right)>0\) (3)
- Nếu a, c cùng dấu \(\Rightarrow a;b;c\) cùng dấu \(\Rightarrow ab>0\)
Nhân vế với vế của (1) và (2): \(a.b.f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;b\right)\)
- Nếu \(a,\) c trái dấu \(\Rightarrow ac< 0\) nhân vế với vế của (1) và (3):
\(ac.f\left(a\right).f\left(c\right)>0\Rightarrow f\left(a\right).f\left(c\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;c\right)\)
Vậy pt đã cho luôn luôn có nghiệm
1.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1\)
\(f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(x\right)\) có bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm (1)
\(f\left(0\right)=m^2+1>0\) ; \(\forall m\)
\(f\left(1\right)=\left(m^2+1\right)-2m^2-4+m^2+1=-2< 0\) ;\(\forall m\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) (2)
\(f\left(2\right)=8\left(m^2+1\right)-8m^2-8+m^2+1=m^2+1>0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\) (3)
\(f\left(-3\right)==-27\left(m^2+1\right)-18m^2+12+m^2+1=-44m^2-14< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-3\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-3;0\right)\) (4)
Từ (1); (2); (3); (4) \(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt
2.
Đặt \(t=g\left(x\right)=x.cosx\)
\(g\left(x\right)\) liên tục trên R và có miền giá trị bằng R \(\Rightarrow t\in\left(-\infty;+\infty\right)\)
\(f\left(t\right)=t^3+m\left(t-1\right)\left(t+2\right)\)
Hàm \(f\left(t\right)\) xác định và liên tục trên R
\(f\left(1\right)=1>0\)
\(f\left(-2\right)=-8< 0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-2\right)< 0\Rightarrow f\left(t\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm với mọi m
Lời giải:
$f(x)=ax^2+bx+c$ liên tục trên $[0; \frac{1}{3}]$
$f(0)=c$
$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{9}a+\frac{1}{3}b+c$
$\Rightarrow 18f(\frac{1}{3})=2a+6b+18c$
$\Rightarrow f(0)+18f(\frac{1}{3})=2a+6b+19c=0$
$\Rightarrow f(0)=-18f(\frac{1}{3})$
$\Rightarrow f(0).f(\frac{1}{3})=-18f(\frac{1}{3})^2\leq 0$
$\Rightarrow$ pt luôn có nghiệm trong $[0; \frac{1}{3}]$ (đpcm)
