Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(m^3-m=m\left(m^2-1\right)=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\)
Vì m-1;m;m+! là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 3 và chia hết cho 2
Mà (3,2)=1
Từ đó suy ra (m-1)m(m+1) chia hết cho 6 hay m^3-m chia hết cho 6 (đpcm)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
Bài 1:
a) \(A=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-4\right)\)
\(A=\left(-2\right)^2\left(m+1\right)^2-4m+16\)
\(A=4\left(m^2+2m+1\right)-4m+16\)
\(A=4m^2+8m+4-4m+16\)
\(A=4m^2+4m+20\)
\(A=\left(2m\right)^2+2.m.2+4+16\)
\(A=\left(2m+2\right)^2+16\)
Vì \(\left(2m+2\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(2m+2\right)^2+16\ge16\)
Mà \(16>0\)
\(\Rightarrow\left(2m+2\right)^2+16>0\)
\(\Rightarrow\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m-4\right)>0\) ( Đpcm )
b) \(B=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4.2m\)
\(B=\left(-1\right)^2\left(m+2\right)^2-8m\)
\(B=m^2+2m.2+4-8m\)
\(B=m^2+4m+4-8m\)
\(B=m^2-4m+4\)
\(B=m^2-2.m.2+2^2\)
\(B=\left(m-2\right)^2\)
Vì \(\left(m-2\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4.2m\ge0\) ( Đpcm )
c) \(C=\left(m+1\right)^2-4.2.\left[-\left(m+3\right)\right]\)
\(C=m^2+2m+1-8\left(-m-3\right)\)
\(C=m^2+2m+1+8m+24\)
\(C=m^2+10m+25\)
\(C=\left(m+5\right)^2\)
Vì \(\left(m+5\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(m+1\right)^2-4.2\left[-\left(m+3\right)\right]\ge0\) ( Đpcm )
Chia 2 vế PT cho z^2 được :
\(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\)
ta có: \(\left(x^2y^2+y^2\right)+\left(x^2+\frac{x^2}{z^2}\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}\right)=6\)
Đặt \(a=\frac{1}{z^2},b=y^2,c=x^2\).Ta có
P=\(\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
Có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)-3=2\left(\frac{x^2}{z^2}+x^2y^2+\frac{y^2}{z^2}+\frac{1}{z^2}+x^2+y^2\right)\ge9\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
A) x2+4y22+z22-4x-6z+15>0 <=> (x2-2×2×x+22)+4y2+(z2-2×3×z+32) +(15 -22-32) >0
<=>(x-2)2+4y22+(z-3)2
B) giải
(2X)2+ 2×2X×1 +1 >=0 với mọi X ( (2x+1)2 )
=> (2x+1)2+2 >0
Ta có B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6)
= m 2 + 6 m – m – 6 – ( m 2 – 6 m + m – 6 ) = m 2 + 5 m – 6 – m 2 + 6 m – m + 6 = 10 m
Nhận thấy 10 ⁝ 10 => 10.m ⁝ 10 nên B ⁝ 10 với mọi giá trị nguyên của m.
Đáp án cần chọn là: A