Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sao không ai trả lời vậy, mình trả lời vui thôi không chắc đúng nha
\(B=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+xy}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y+2xy}\ge\frac{4x^2y^2}{x+y+2}=\frac{4}{x+y+2}\)
Vì x,y nguyên dương và xy=1 nên\(x,y\le1\Rightarrow B\ge\frac{4}{2+2}=1\)
Ta có \(B=\frac{x^4}{x+xy}+\frac{y^4}{y+xy}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y+2xy}\ge\frac{\left(x+y\right)^4}{4\left(x+y+2\right)}=\frac{a^4}{4\left(a+2\right)}\)
Ta có \(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\Rightarrow a\ge2\)
Ta cần \(\frac{a^4}{4\left(a+2\right)}\ge1\Leftrightarrow a^4\ge4a+8\Leftrightarrow\frac{1}{2}a^4+\frac{1}{2}a^4\ge4a+8\)
Ta có\(\frac{1}{2}a^4\ge\frac{1}{2}.16=8;a^3\ge8\Rightarrow\frac{1}{2}a^4\ge4a\Rightarrow a^4\ge4a+8\)
=> B>=1
dấu = xảy ra <=> x=y=1
Yêu cầu chứng minh \(B\ge1\) là đáp án đúng cho bài toán này.
Không giải!
Lời giải:
Ta xét hiệu sau:
\(x^3+y^3-xy(x+y)=x^3-x^2y-(xy^2-y^3)\)
\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x^2-y^2)(x-y)=(x-y)^2(x+y)\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)(*)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+xy\geq xy(x+y+1)\)
\(\Rightarrow \frac{xy}{x^3+y^3+xy}\leq \frac{xy}{xy(x+y+1)}=\frac{1}{x+y+1}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:
\(\text{VT}\leq \underbrace{\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}}_{M}(1)\)
Vì $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=(\frac{a^2}{bc}, \frac{b^2}{ac}, \frac{c^2}{ab})\)
Khi đó:
\(M=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)
\(\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ca(c+a)+abc}\) (áp dụng công thức $(*)$)
hay \(M\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$
Bài của chị Akai đoạn đầu hơi phức tạp(em nghĩ thế).
Ta có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\) với \(\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge0\) với \(\forall x,y\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)với\(\forall x,y\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) với \(\forall x,y\)
Rồi giải tiếp như chị ấy.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{x+2y}\)(1)
Từ GT x + 2y ≤ 3z => \(\frac{1}{x+2y}\ge\frac{1}{3z}\)<=> \(\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{x+2y}\ge\frac{3}{z}\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge\frac{3}{z}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1
chị @Akai Haruma giúp e bài này đc k ạ
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+1}.\frac{y+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}x\)
\(\frac{y^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{y^3}{x+1}.\frac{x+1}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}y\)
Cộng theo vế ta thu được:
\(B+\frac{x+y}{4}+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}(x+y)\)
\(\Rightarrow B\geq \frac{5}{4}(x+y)-\frac{3}{2}\)
Mà cũng theo BĐT AM-GM thì \(x+y\geq 2\sqrt{xy}=2\)
\(\Rightarrow B\geq \frac{5}{4}.2-\frac{3}{2}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$