Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có \(S=x^2\left(x+1\right)^2+2x^2+2x+1\)
\(\Leftrightarrow S=\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1\)
\(\Leftrightarrow S=\left(x^2+x+1\right)^2\) (theo các hằng đẳng thức đáng nhớ)
Do đó S là một số chính phương với mọi số tự nhiên x
b/ Sửa đề chứng minh: \(\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1\)
Theo đề bài ta có:
\(\hept{\begin{cases}f\left(-1\right)=a-b+c>0\left(1\right)\\f\left(-2\right)=4a-2b+c>0\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a-2b+c}{a-b+c}>0\)
Mà theo (1) và (2) thì ta thấy cả tử và mẫu của biểu thức đều > 0 nên ta có ĐPCM
\(A=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2\left(n^2+2n+1\right)\left(n^2-2n+2\right)\)
\(A=n^2.\left(n+1\right)^2.\left[\left(n-1\right)^2+1\right]\) có \(\left(n-1\right)^2+1\) chỉ là số CP phương khi n=1
Vậy với n>1 A không thể Cp
Bài 2:
Theo đề ta có: \(a,b>0\left(1\right)\)
Giả sử: \(a^2+b^2\ge1\left(2\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow a^3+b^3\le\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a^3+ab^2-a^2b-b^3\)
\(\Leftrightarrow ab^2-a^2b-2b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(ab-a^2-2b^2\right)\ge0\)
Vì: \(a>b>0\Rightarrow a\left(b-a\right)< 0\)
\(\Rightarrow a\left(b-a\right)-2b^3< 0\)
Từ trên suy ra BĐT trên không thể xảy ra.
\(\RightarrowĐpcm\)
Bài 1:
\(x^2+2x+3-\left(2x+1\right)\sqrt{x^2+2x+3}+4x-2=0\)
Đặt \(\sqrt{x^2+2x+3}=a>0\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(2x+1\right)a+4x-2=0\)
\(\Delta=\left(2x+1\right)^2-4\left(4x-2\right)=4x^2-12x+9=\left(2x-3\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{2x+1-\left(2x-3\right)}{2}=2\\a=\frac{2x+1+2x-3}{2}=2x-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x+3}=2\\\sqrt{x^2+2x+3}=2x-1\left(x\ge\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+2x+3=4\\x^2+2x+3=4x^2-4x+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Ta có : \(n^6-n^4+2n^3+2n^2\)
\(=\left(n^6+2n^3+1\right)-\left(n^4-2n^2+1\right)\)
\(=\left(n^3+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2\)
\(=\left(n^3+1-n^2+1\right)\left(n^3+1+n^2-1\right)\)
\(=n^2\left(n^3-n^2+2\right)\left(n+1\right)\)
\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)
Ta thấy \(n^2\left(n+1\right)^2\) là số chính phương (1) \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1\)ko phải là số chính phương (2)
Từ (1);(2) => \(n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\) ko phải là số chính phương (đpcm)
\(A=x^6-x^4+2x^3+2x^2\)
\(=x^2\left(x^4-x^2+2x+2\right)\)
\(=x^2\left(x^4+2x^3+x^2-2x^3-4x^2-2x+2x^2+4x+2\right)\)
\(=x^2\left[x^2\left(x^2+2x+1\right)-2x\left(x^2+2x+1\right)+2\left(x^2+2x+1\right)\right]\)
\(=x^2\left(x^2-2x+2\right)\left(x+1\right)^2\)
\(=x^2\left(x+1\right)^2\left[\left(x-1\right)^2+1\right]\)
Với \(x>1\)thì \(\left(x-1\right)^2+1\)không là số chính phương
Vậy A không là số chính phương