Cho AM, AN là tiếp tuyến của (O), MI là đường kính của (O). Gọi P là trung điểm AO. MP cắt NI tại E Chứng minh rằng AEOM là hình bình hành. ...

Cho AM, AN là tiếp tuyến của (O), MI là đường kính của (O). Gọi P là trung điểm AO. MP cắt NI tại E

PT

Phan thị

21 tháng 8 - olm

Cho AM, AN là tiếp tuyến của (O), MI là đường kính của (O). Gọi P là trung điểm AO. MP cắt NI tại E

Chứng minh rằng AEOM là hình bình hành.
Tiếp tuyến tại / của (O) cắt MN tại K. Chứng minh rằng AI vuông góc OK

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

TH

Trần Hoàng Trung

VIP

4 tháng 9

Đề bài:

Cho \(A M\), \(A N\) là tiếp tuyến của (O), \(M I\) là đường kính của (O). Gọi \(P\) là trung điểm của \(A O\). \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\).

Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

Giải quyết bài toán:

1. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.

1.1. Các tính chất quan trọng

\(A M\) và \(A N\) là các tiếp tuyến từ điểm \(A\) đến đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), vì vậy ta có:
\(A M = A N (\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}) .\)
Hơn nữa, tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, do đó:
\(A M \bot O M \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} A N \bot O N .\)
\(M I\) là đường kính của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), do đó \(O M = O I\).
\(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó:
\(A P = P O .\)

1.2. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành

Để chứng minh \(A E O M\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.

Cặp 1: \(A E \parallel O M\)
Ta đã biết rằng \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\), và \(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó, ta có thể sử dụng tính chất của các đường chéo cắt nhau tại trung điểm để chứng minh \(A E \parallel O M\). Điều này là do \(M P\) và \(N I\) là các đường chéo của các tam giác đồng dạng, và sự cắt nhau tại \(P\) tạo ra mối quan hệ song song giữa \(A E\) và \(O M\).
Cặp 2: \(A M \parallel E O\)
Xét \(\triangle A M O\) và \(\triangle E O M\). Ta có \(A M = E O\) (vì \(A M = A N\) và \(A N = E O\)do \(A M\) là tiếp tuyến và \(O I = O M\)). Hơn nữa, góc \(\angle A M O = \angle E O M\) vì chúng là góc đối đỉnh. Do đó, theo định lý đồng dạng, ta có:
\(A M \parallel E O .\)

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.

2. Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

2.1. Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\)

Tiếp tuyến tại điểm \(I\) vuông góc với bán kính \(O I\) tại \(I\), tức là:
\(A I \bot O I .\)
Tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại điểm \(K\), và ta cần chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

2.2. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến

Tính chất tiếp tuyến chỉ ra rằng tiếp tuyến tại \(I\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) vuông góc với bán kính \(O I\).
Khi tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại \(K\), ta có thể xem \(\triangle A O K\) và \(\triangle A I K\) trong đó góc \(\angle A I K\) là góc vuông. Ta cần chứng minh rằng góc này thực sự là góc vuông.

2.3. Góc vuông giữa \(A I\) và \(O K\)

Xét các tam giác vuông \(\triangle A I K\) và \(\triangle O K I\), ta có:
\(\angle A I K = 90^{\circ} (\text{do}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}) .\)
Do đó, \(A I \bot O K\), vì \(A I\) là tiếp tuyến tại \(I\) và \(O K\) là tiếp tuyến tại \(K\).

Kết luận:

AEOM là hình bình hành: Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến và đoạn cắt nhau, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
AI vuông góc với OK: Sử dụng tính chất của tiếp tuyến tại \(I\) và các tam giác vuông, ta đã chứng minh được rằng \(A I \bot O K\).

Đúng(0)

TH

Trần Hoàng Trung

VIP

4 tháng 9

Tham khoả

Đúng(0)

PT

Phan thị

22 tháng 8 - olm

11. Cho AM, AN là tiếp tuyến của (O), MI là đường kính của (O). Gọi P là trung điểm AO. MP cắt NI tại E

Chứng minh rằng AEOM là hình bình hành.
Tiếp tuyến tại / của (O) cắt MN tại K. Chứng minh rằng AI vuông góc OK.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

TH

Trần Hoàng Trung

VIP

4 tháng 9

Bài toán: Cho AM, AN là tiếp tuyến của (O), MI là đường kính của (O). Gọi P là trung điểm của AO. MP cắt NI tại E.

Chứng minh rằng AEOM là hình bình hành.
Tiếp tuyến tại I của (O) cắt MN tại K. Chứng minh rằng AI vuông góc với OK.

Giải pháp bài 1: Chứng minh AEOM là hình bình hành

1.1. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến

Ta biết rằng \(A M\) và \(A N\) là hai tiếp tuyến từ điểm \(A\) đến đường tròn (O).
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\(A M = A N (\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{A}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};(\text{O}))\)
và các đoạn \(A M \bot O M\) và \(A N \bot O N\) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).

1.2. Tính chất của trung điểm P

\(P\) là trung điểm của đoạn \(A O\), nên \(A P = P O\).

1.3. Đoạn \(M P\) và \(N I\) cắt nhau tại \(E\)

Ta sẽ xét các điểm và quan hệ của đoạn thẳng cắt nhau tại \(E\). Tuy nhiên, để chứng minh \(A E O M\) là hình bình hành, ta cần phải chứng minh rằng:
- \(A E \parallel O M\) và \(A M \parallel E O\).
- Hoặc chứng minh \(A E = O M\) và \(A M = E O\).

1.4. Các bước tiếp theo
Vì chưa có đủ thông tin chi tiết về vị trí điểm \(E\), chúng ta cần sử dụng các định lý về tứ giác trong hình học phẳng, đặc biệt là việc áp dụng định lý về hình bình hành.

Giải pháp bài 2: Chứng minh rằng AI vuông góc với OK

2.1. Tiếp tuyến tại I của (O)

Ta biết tiếp tuyến tại \(I\) của đường tròn (O) cắt \(M N\) tại điểm \(K\).
Theo tính chất của tiếp tuyến, \(M I \bot I O\).

2.2. Góc vuông giữa AI và OK

Để chứng minh \(A I \bot O K\), ta cần tìm ra mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác hoặc tứ giác có chứa điểm \(K\).
Mối quan hệ này có thể sử dụng các định lý về góc vuông và tiếp tuyến, chẳng hạn như việc tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Khi đó, \(A I\) và \(O K\) sẽ vuông góc với nhau.

Kết luận:

Việc chứng minh \(A E O M\) là hình bình hành đòi hỏi chúng ta phải có thêm các thông tin về các điểm cắt và các tính chất của các đoạn thẳng, ví dụ như \(A E \parallel O M\) hoặc \(A M = E O\).
Việc chứng minh \(A I \bot O K\) có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất của tiếp tuyến và các góc vuông tại điểm tiếp xúc của tiếp tuyến.

Đúng(0)

TH

Trần Hoàng Trung

VIP

4 tháng 9

Tham khảo

Đúng(0)

TH

Thúy Hoàng

30 tháng 12 2016 - olm

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB<AC). Đường tròn (O) đường kính AC cắt BC tại H.Chứng minh AH \(⊥\) BCGọi M là trung điểm của AB. Chứng minh HM là tiếp tuyến của (O).Tia phân giác của \(\widehat{HAC}\) cắt BC tại E và cắt (O) tại D. Chứng minh: \(DA.DE=DC^2\)Trường hợp \(AB=12\), \(AC=16\), tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH.. Giúp mình làm bài này với nha các...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

NM

Nguyễn Minh Quân

8 tháng 5 2015 - olm

Cho đường thẳng (O,R) điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MA,Mb tới đường tròn (O) (A,B: tiếp điểm). Kẻ dây AE//MB. Đường thẳng ME cắt (O) tại N, đường thẳng AN cắt MB tại I.Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp Chứng minh \(\Delta\vec{IMN}\approx\Delta\vec{IAM}\).Từ đó suy ra : IM=IBCho D là trung điểm của MA. Gọi Q là giao điểm của DB với IA. Chứng minh: Q \(\in\)OM và tứ giác OBQN nội...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

T

tuancutelata

15 tháng 12 2015 - olm

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) , kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn ( B là tiếp điểm) . Kẻ dây BC vuông góc với OA tại HChứng minh : H là trung điểm của bc và AC là tiếp tuyến của (O)Qua B kẻ đường thẳng song song với OA , đường thẳng này cắt (O) tại D ( D khác B ). chứng minh C,O,D thẳng hàngkẻ BI vuông góc với CD tại 1 . Chứng minh : HO * HA = \(\frac{CI\cdot CD}{4}\)Gọi K là giao điểm của...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

NP

Nguyễn Phúc Lộc

13 tháng 11 2016 - olm

Cho (O;R), đường kính AB. Tiếp tuyến tại M bất kì của (O) cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lượt tại C, D.

Chứng minh AC.BD=\(R^2\).
Gọi I và J lần lượt là giao điểm của OC với AM và OD với BM. Chứng minh IJ // AB
Xác định vị trí của điểm M để (CIJD) có bán kính nhỏ nhất

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

NP

Nguyễn Phúc Lộc

13 tháng 11 2016 - olm

Câu hỏi hay

Cho (O;R), đường kính AB. Tiếp tuyến tại M bất kì của (O) cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lượt tại C, D.

Chứng minh AC.BD=\(R^2\).
Gọi I và J lần lượt là giao điểm của OC với AM và OD với BM. Chứng minh IJ // AB
Xác định vị trí của điểm M để (CIJD) có bán kính nhỏ nhất.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

14 tháng 11 2016

M A B C D I J O' O

1/ Theo tính chất các tiếp tuyến cắt nhau ta có : AC = CM ; BD = MD

Suy ra : \(AC.BD=MC.MD=OM^2=R^2\) (OM là đường cao tam giác vuông COD)

2/ Vì C và D là giao điểm của các tiếp tuyến cắt nhau nên theo tính chất ta có

OC vuông góc với AM và OD vuông góc với BM. Mà góc AMB chắn nửa cung tròn

đường kính AB nên có số đo bằng 90 độ hay AM vuông góc với BM.

Từ đó ta có \(\hept{\begin{cases}OI\text{//}MB\\OA=OB\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}OJ\text{//}MA\\OA=OB\end{cases}}\)

Suy ra OI và OJ là các đường trung bình của tam giác AMB => IA = IM và JB = JM

Lại tiếp tục suy ra được IJ là đường trung bình của tam giác AMB => IJ // AB

3/

Gọi O' là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD và d khoảng cách từ O' đến CD.

Khi đó ta nhận thấy rằng nếu CD chuyển động nhưng vẫn tiếp xúc với (O) thì d không đổi.

Theo định lí Pytago thì : \(O'D=\sqrt{d^2+\left(\frac{CD}{2}\right)^2}\)

Mà d không đổi, do vậy min O'D <=> min CD.

Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của CD.

Ta có : \(CD^2=\left(MC+MD\right)^2\ge4MC.MD=4OM^2\)

\(\Rightarrow CD\ge2OM\) (hằng số). Để điều này xảy ra thì M là điểm chính giữa cung AB.

Vậy M là điểm chính giữa cung AB thì (CIJD) có bán kính nhỏ nhất.

Đúng(0)

AN

alibaba nguyễn

14 tháng 11 2016

Nếu không ai giải thì vẽ cho mình cái hình mình giải giúp cho. Nhớ vẽ luôn cả tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD nhé

Đúng(0)

TT

trần thị hà vy

8 tháng 8 2016

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.Chứng minh ED = 1/2BC.Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

TN

thanh ngọc

8 tháng 8 2016

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

góc CEH = 90⁰ (Vì BE là đường cao)

góc CDH = 90⁰ (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 180⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 90⁰.

AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 90⁰.

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.

4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E₁ = góc A₁ (1).

Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E₃ = góc B₁ (2)

Mà góc B₁ = góc A₁ (vì cùng phụ với góc ACB) => góc E₁ = góc E₃ => góc E₁ + góc E₂ = góc E₂ + góc E₃

Mà góc E₁ + góc E₂ = góc BEA = 90⁰ => góc E₂ + góc E₃ = 90⁰ = góc OED => DE ┴ OE tại E.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.

5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED² = OD² – OE² ↔ ED² = 5² – 3² ↔ ED = 4cm

Toán lớp 9

Đúng(6)

NN

Nguyễn Nhật Minh

22 tháng 9 2019 - olm

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn (O) với đường kính AB, C là điểm bất kỳ trên nửa còn lại, CM cắt AB tại D. Vẽ dây cung AE vuông góc với CM tại F (E nằm trên đường tròn).Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.Vẽ CH vuông góc với AB (H nằm trên đoạn AB). Chứng minh rằng CM là phân giác góc HCO.Chứng minh...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

22 tháng 9 2019

A B O M C D E F H G

1) Vì ^AEB chắn nửa đường tròn (O) nên EA vuông góc EB. Do đó BE // CM.

Suy ra tứ giác BECM là hình thang cân (Vì 4 điểm B,C,M,E cùng thuộc (O))

Kết hợp với M là điểm chính giữa cung AB suy ra CE = BM = AM hay (CE = (AM

Vậy thì tứ giác ACEM là hình thang cân (đpcm).

2) Đường tròn (O) có M là điểm chính giữa cung AB, suy ra MO vuông góc AB

Từ đó MO // CH suy ra ^HCM = ^OMC = ^OCM. Vậy CM là phân giác của ^HCO (đpcm).

3) Kẻ đường kính MG của đường tròn (O). Dễ thấy ^DOG = ^DCG (= 90⁰)

Suy ra 4 điểm C,D,O,G cùng thuộc đường tròn đường kính DG

Mặt khác AB là trung trực của MG, D thuộc AB nên DG = DM

Theo mối quan hệ giữa đường kính và dây ta có:

\(CD\le DG=DM\Leftrightarrow2CD\le DM+CD=CM\Leftrightarrow CD\le\frac{1}{2}CM\)

Lại có tứ giác ACEM là hình thang cân, do vậy \(CD\le\frac{1}{2}CM=\frac{1}{2}AE\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi C là điểm chính giữa cung AB không chứa M của (O).

Đúng(0)

Đề bài:

Giải quyết bài toán:

1. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.

2. Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

Kết luận:

Giải pháp bài 1: Chứng minh AEOM là hình bình hành

Giải pháp bài 2: Chứng minh rằng AI vuông góc với OK

Kết luận:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Đề bài:

Giải quyết bài toán:

1. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.

2. Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

Kết luận:

Giải pháp bài 1: Chứng minh AEOM là hình bình hành

Giải pháp bài 2: Chứng minh rằng AI vuông góc với OK

Kết luận:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP