Question

[Phan thị]

Cho AM, AN là tiếp tuyến của (O), MI là đường kính của (O). Gọi P là trung điểm AO. MP cắt NI tại E

1. Chứng minh rằng AEOM là hình bình hành.
2. Tiếp tuyến tại / của (O) cắt MN tại K. Chứng minh rằng AI vuông góc OK

Answer 1

[Trần Hoàng Trung]

Đề bài:

Cho \(A M\), \(A N\) là tiếp tuyến của (O), \(M I\) là đường kính của (O). Gọi \(P\) là trung điểm của \(A O\). \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\).

1. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
2. Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

---

Giải quyết bài toán:

1. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.

1.1. Các tính chất quan trọng

• \(A M\) và \(A N\) là các tiếp tuyến từ điểm \(A\) đến đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), vì vậy ta có:
  \(A M = A N (\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}) .\)
  Hơn nữa, tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, do đó:
  \(A M \bot O M \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} A N \bot O N .\)
• \(M I\) là đường kính của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), do đó \(O M = O I\).
• \(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó:
  \(A P = P O .\)

1.2. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành

Để chứng minh \(A E O M\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.

• Cặp 1: \(A E \parallel O M\)
  Ta đã biết rằng \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\), và \(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó, ta có thể sử dụng tính chất của các đường chéo cắt nhau tại trung điểm để chứng minh \(A E \parallel O M\). Điều này là do \(M P\) và \(N I\) là các đường chéo của các tam giác đồng dạng, và sự cắt nhau tại \(P\) tạo ra mối quan hệ song song giữa \(A E\) và \(O M\).
• Cặp 2: \(A M \parallel E O\)
  Xét \(\triangle A M O\) và \(\triangle E O M\). Ta có \(A M = E O\) (vì \(A M = A N\) và \(A N = E O\)do \(A M\) là tiếp tuyến và \(O I = O M\)). Hơn nữa, góc \(\angle A M O = \angle E O M\) vì chúng là góc đối đỉnh. Do đó, theo định lý đồng dạng, ta có:
  \(A M \parallel E O .\)

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.

---

2. Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

2.1. Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\)

• Tiếp tuyến tại điểm \(I\) vuông góc với bán kính \(O I\) tại \(I\), tức là:
  \(A I \bot O I .\)
• Tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại điểm \(K\), và ta cần chứng minh rằng \(A I \bot O K\).

2.2. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến

• Tính chất tiếp tuyến chỉ ra rằng tiếp tuyến tại \(I\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) vuông góc với bán kính \(O I\).
• Khi tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại \(K\), ta có thể xem \(\triangle A O K\) và \(\triangle A I K\) trong đó góc \(\angle A I K\) là góc vuông. Ta cần chứng minh rằng góc này thực sự là góc vuông.

2.3. Góc vuông giữa \(A I\) và \(O K\)

• Xét các tam giác vuông \(\triangle A I K\) và \(\triangle O K I\), ta có:
  \(\angle A I K = 90^{\circ} (\text{do}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}) .\)
  Do đó, \(A I \bot O K\), vì \(A I\) là tiếp tuyến tại \(I\) và \(O K\) là tiếp tuyến tại \(K\).

---

Kết luận:

1. AEOM là hình bình hành: Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến và đoạn cắt nhau, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
2. AI vuông góc với OK: Sử dụng tính chất của tiếp tuyến tại \(I\) và các tam giác vuông, ta đã chứng minh được rằng \(A I \bot O K\).

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Tham khoả