Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(Taco:\)
\(Đặt:S=a^2+b^2+c^2\)
\(.Với:a=4;b=5;c=6\Rightarrow S=76< 90\)
\(Taco:4+5+6=15\)
\(mà:a=4;b=5;c=6.S< 90\Rightarrow\)ít nhất a>4 hoặc: b>5 hoặc: c>6
Vì: a2;b2,c2 E N=> a,b,c E N
=> \(a+b+c\inℕ\Rightarrow a+b+c>15\Rightarrow a+b+c\ge16\left(đpcm\right)\)
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
Bạn ơi 2 phân số sau viết sai tử rùi kìa
Áp dụng bđt x^2+y^2 >= 2xy với mọi x,y
Xét : a^3/a^2+b^2 = a - ab^2/a^2+b^2 >= a-ab^2/2ab = a-b/2
Tương tự : b^3/b^2+c^2 >= b-c/2
c^3/c^2+a^2 >= c-a/2
=> A >= a+b+c-a/c-b/2-c/2 = a+b+c/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c và a+b+c=3
<=> a=b=c=1
Vậy Min A = 3/2 <=> a=b=c=1
k mk nha
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Ta có P=\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
Mà \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)
Vậy P min = 1 <=> a=b=c=1/căn(3)
^^
ta có a^2+b^2+c^2=1
Mà a,b,c thuộc N
\(\Rightarrow\)TH1:a và b =0
TH2:b và c=0
TH3:c và a=0
nhưng \(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)có b,c,a là mẫu
Do đó không có P
1.
\(P=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{5x}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+\frac{5}{2}.1=\frac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
2.
\(P=\frac{a}{100}+\frac{1}{a}+\frac{b}{10000}+\frac{1}{b}+\frac{c}{1000^2}+\frac{1}{c}+\frac{99}{100}a+\frac{9999}{10000}b+\frac{999999}{1000000}c\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{a}{100a}}+2\sqrt{\frac{b}{10000b}}+2\sqrt{\frac{c}{1000000c}}+\frac{99}{100}.10+\frac{9999}{10000}.100+\frac{999999}{1000000}.1000=...\)
Bạn tự bấm máy tính
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=10\\b=100\\c=1000\end{matrix}\right.\)
3.
\(VT=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}+\frac{8ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{8ab\left(a+b\right)^2}{2ab\left(a+b\right)^2}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ge4\\b\ge5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge16+25=41\Rightarrow c^2=90-\left(a^2+b^2\right)\le49\Rightarrow c\le7\)
Tương tự: \(b=\sqrt{90-\left(a^2+c^2\right)}\le\sqrt{90-\left(4^2+6^2\right)}=\sqrt{38}\)
\(a\le\sqrt{90-\left(5^2+6^2\right)}=\sqrt{29}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-4\right)\left(a-9\right)\le0\\\left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\\left(c-6\right)\left(c-7\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}13a\ge a^2+36\\13b\ge b^2+40\\13c\ge c^2+42\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow13\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+118=208\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge16\)
\(P_{min}=16\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(4;5;7\right)\)
a>=4,b>=5,c>=6
=>a+b+c>=4+5+6>=15
hay P>=15