Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Do \(a\geq 1; b\geq 2; c\geq 3\Rightarrow a-1, b-2, c-3\geq 0\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\(\left\{\begin{matrix} (a-1)+4\geq 2\sqrt{4(a-1)}=4\sqrt{a-1}\\ (b-2)+9\geq 2\sqrt{9(b-2)}=6\sqrt{b-2}\\ (c-3)+16\geq 2\sqrt{16(c-3)}=8\sqrt{c-3}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(a+b+c+23\geq 4\sqrt{a-1}+6\sqrt{b-2}+8\sqrt{c-3}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-1=4\\ b-2=9\\ c-3=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=11\\ c=19\end{matrix}\right.\)
Đặt \(a=3+x\) , \(b=3+y\) (\(x,y\ge0\)) thì \(a+b=\left(x+y\right)+6\)
Ta có : \(a^2+b^2\ge25\Leftrightarrow\left(3+x\right)^2+\left(3+y\right)^2\ge25\Leftrightarrow x^2+y^2+6\left(x+y\right)+18\ge25\)
Ta sẽ chứng minh \(x+y\ge1\) . Thật vậy , giả sử \(0\le x+y< 1\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2< 1\Rightarrow x^2+y^2< 1\)
Do đó : \(a^2+b^2=\left(x^2+y^2\right)+6\left(x+y\right)+18< 1+6+18=25\) trái với giả thiết.
Vậy \(x+y\ge1\) \(\Rightarrow a+b\ge7\) (đpcm)
biến đổi ta đc \(P=\dfrac{\sqrt{c-1}}{c}+\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-2}}{b}\)
ta có \(c=c-1+1\ge2\sqrt{c-1}\)
=> \(\dfrac{\sqrt{c-1}}{c}\le\dfrac{1}{2}\)
tương tự ta có \(\dfrac{\sqrt{b-2}}{b}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\); \(\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
=> P \(\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
dấu đẳng thức xảy ra khi c=2;b=4;a=6