Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gợi ý cách làm.
Để cho a và b là 2 số tự nhiên liên tiếp thì \(a-b=1\)hoặc \(a-b=-1\)thế vô giải tìm.
Giải sẽ không tìm được n tự nhiên nên kết luận DPCM là đúng.
Thử tự làm xem sao nhé
2: \(A=9^n\cdot81-9^n+3^n\cdot9+3^n\)
\(=9^n\cdot80+3^n\cdot10\)
\(=10\left(9^n\cdot8+3^n\right)⋮10\)
Bài 1.
Giải
a) Ta có: \(A=\dfrac{3n+9}{n-4}=\dfrac{3n-12+21}{n-4}=\dfrac{3\left(n-4\right)+21}{n-4}=3+\dfrac{21}{n-4}\)
Để \(A\in Z\) thì \(\dfrac{21}{n-4}\in Z\)
\(\Rightarrow21⋮\left(n-4\right)\)
\(\Rightarrow\left(n-4\right)\inƯ\left(21\right)\)
\(\Rightarrow\left(n-4\right)\in\left\{\pm1;\pm3;\pm7;\pm21\right\}\)
Ta có bẳng sau:
| \(n-4\) | \(-21\) | \(-7\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(7\) | \(21\) |
| \(n\) | \(-17\) | \(-3\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(11\) | \(25\) |
Vậy \(n\in\left\{-17;-3;1;3;5;7;11;25\right\}\) thì \(A\in Z.\)
b) Ta có: \(B=\dfrac{6n+5}{2n-1}=\dfrac{6n-3+8}{2n-1}=\dfrac{3\left(2n-1\right)+8}{2n-1}=3+\dfrac{8}{2n-1}\)
Để \(B\in Z\) thì \(\dfrac{8}{2n-1}\in Z\)
\(\Rightarrow8⋮\left(2n-1\right)\)
\(\Rightarrow\left(2n-1\right)\inƯ\left(8\right)\)
\(\Rightarrow\left(2n-1\right)\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)
Ta có bảng sau:
| \(2n-1\) | \(-8\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
| \(2n\) | \(-7\) | \(-3\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(9\) |
| \(n\) | \(\dfrac{-7}{2}\) | \(\dfrac{-3}{2}\) | \(\dfrac{-1}{2}\) | \(0\) | \(1\) | \(\dfrac{3}{2}\) | \(\dfrac{5}{2}\) | \(\dfrac{9}{2}\) |
Vậy \(n\in\left\{\dfrac{-7}{2};\dfrac{-3}{2};\dfrac{-1}{2};0;1;\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2};\dfrac{9}{2}\right\}\)
Bạn Nguyen Thi Huyen giải bài 1 rồi nên mình giải tiếp các bài kia nhé!
Bài 2:
\(\dfrac{x-18}{2000}+\dfrac{x-17}{2001}=\dfrac{x-16}{2002}+\dfrac{x-15}{2003}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x-18}{2000}-1\right)+\left(\dfrac{x-17}{2001}-1\right)=\left(\dfrac{x-16}{2002}-1\right)+\left(\dfrac{x-15}{2003}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2018}{2000}+\dfrac{x-2018}{2001}=\dfrac{x-2018}{2002}+\dfrac{x-2018}{2003}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2018}{2000}+\dfrac{x-2018}{2001}-\dfrac{x-2018}{2002}-\dfrac{x-2018}{2003}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2018\right)\left(\dfrac{1}{2000}+\dfrac{1}{2001}-\dfrac{1}{2002}-\dfrac{1}{2003}\right)=0\)
Dễ thấy \(\dfrac{1}{2000}>\dfrac{1}{2001}>\dfrac{1}{2002}>\dfrac{1}{2003}\) nên:
\(\dfrac{1}{2000}+\dfrac{1}{2001}+\dfrac{1}{2002}+\dfrac{1}{2003}\ne0\). Do đó:
\(x-2018=0\Leftrightarrow x=2018\)
Bài 3:
a) \(\dfrac{5}{x}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow\dfrac{20}{4x}+\dfrac{xy}{4x}=\dfrac{20+xy}{4x+4x}=\dfrac{20+xy}{8x}=\dfrac{1}{8}\)
Hoán vị ngoại tỉ ta có: \(\dfrac{20+xy}{8x}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow\dfrac{8}{8x}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow x=8\)
Thế x = 8 vào : \(\dfrac{5}{x}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{1}{8}\) .Ta có: \(\dfrac{5}{8}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow\dfrac{y}{4}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{-2}{4}\). Ta có: \(\dfrac{y}{4}=\dfrac{-2}{4}\Leftrightarrow y=-2\)
Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}x=8\\y=-2\end{matrix}\right.\)
b) \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{3}{1}\Rightarrow\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{3}{1}\) (hoán vị ngoại tỉ)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{1}\). Suy ra nghiệm x,y có dạng \(\left[{}\begin{matrix}x=1k\\y=5k\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)\). Bằng các phép thử lại ta dễ dàng suy ra x,y vô nghiệm.
Câu 1:
\(\dfrac{x+1}{10}+\dfrac{x+1}{11}+\dfrac{x+1}{12}=\dfrac{x+1}{13}+\dfrac{x+1}{14}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x+1}{10}+\dfrac{x+1}{11}+\dfrac{x+1}{12}\right)\) - \(\left(\dfrac{x+1}{13}+\dfrac{x+1}{14}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right).\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{14}\right)\)= 0
Vì \(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{14}\ne0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
=> x = 0 - 1
=> x = -1
Câu 2:
Ta có: \(A=\dfrac{3n+9}{n-4}=\dfrac{3n-3.4+9+12}{n-4}\)
\(=\dfrac{3.\left(n-4\right)+21}{n-4}=3+\dfrac{21}{n-4}\)
Để A có giá trị nguyên thì:
n - 4 \(\in\) Ư(21)
=> n - 4 \(\in\)
| n4 | 3 | -3 | 7 | -7 | -1 | 1 | -21 | 21 |
| n | 7 | 1 | 11 | -3 | 3 | 5 | -17 | 25 |
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\left(b+2017\right)}{b\left(b+2017\right)}\\\dfrac{a+2017}{b+2017}=\dfrac{b\left(a+2017\right)}{b\left(b+2017\right)}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab+2017a}{b^2+2017b}\\\dfrac{a+2017}{b+2017}=\dfrac{ab+2017b}{b^2+2017b}\end{matrix}\right.\)
Ta cần so sánh:
\(ab+2017a\) với \(ab+2017b\)
Cần so sánh \(a\) với \(b\)
Nếu \(a>b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+2017}{b+2017}\)
Nếu \(a< b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+2017}{b+2017}\)
Nếu \(a=b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+2017}{b+2017}\)
Mấy câu sau dễ tương tự
1. A = \(\dfrac{3n-7}{n-1}=\dfrac{3n-3}{n-1}+\dfrac{-7}{n-1}=3+\dfrac{-7}{n-1}\)
Tại giá trị \(A\notin Z,3\in Z\)\(\Rightarrow\dfrac{-7}{n-1}\in Z\)\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(-7\right)\) với \(x\ne1\) (mẫu sẽ có giá trị là 0 nếu x = 1)
Tại \(n-1=7\)\(\Leftrightarrow n=7+1=8\)
Tại \(n-1=-7\Leftrightarrow n=-7+1=-6\)
Tại \(n-1=1\Leftrightarrow n=1+1=2\)
Tại \(n-1=-1\Leftrightarrow n=-1+1=0\)
2. B = \(\dfrac{4n+1}{2n-3}=\dfrac{4n+6}{2n-3}+\dfrac{-5}{2n-3}=2+\dfrac{-5}{2n-3}\)
Tại giá trị \(B\in Z,2\in Z\)\(\Rightarrow\dfrac{-5}{2n-3}\in Z\)\(\Rightarrow2n-3\inƯ\left(-5\right)\) với \(x\ne\dfrac{3}{2}\)
Tại \(2n-3=5\Leftrightarrow2n=8\Leftrightarrow n=4\)
Tại \(2n-3=-5\Leftrightarrow2n=-2\Leftrightarrow n=-1\)
Tại \(2n-3=1\Leftrightarrow2n=4\Leftrightarrow n=2\)
Tại \(2n-3=-1\Leftrightarrow2n=2\Leftrightarrow n=1\)
Ta có :
\(A=n^5-5n^3+4n=n\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
chia hết cho \(2,3,4,5.\)
b ) Cần chứng minh
\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1,n\in N\)*
là một số chính phương .
Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
Đặt : \(n^2+3n=y\) thì
\(A=y\left(y+2\right)+1=y^2+2y+1\left(y+1\right)^2\)
\(\Rightarrow A=\left(n^2+3n+1\right)^2,n\in N\)*
\(\left|a-b\right|=\left|\dfrac{5n-1}{4}-\dfrac{3n+12}{12}\right|=\left|n-\dfrac{5}{4}\right|\).
Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên liên tiếp thì \(\left|a-b\right|=1\) nghĩa là:
\(\left|n-\dfrac{5}{4}\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n-\dfrac{5}{4}=-1\\n-\dfrac{5}{4}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=\dfrac{1}{4}\\n=\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\) (mâu thuẫn do \(n\in N\)).
Vậy \(a,b\) không đồng thời là hai số tự nhiên liên tiếp với \(n\in N\).