\(A=\dfrac{2a^2-2\sqrt{a}-2a\sqrt{a}-2a^2\sqrt{a}+4}{\left(1-a\right)\left(1+a+a^2\right)}\)...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 7 2017

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(2\ge a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\le1\)

\(A=a\sqrt{3b\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\)

\(\le\dfrac{a\left(3b+a+2b\right)}{2}+\dfrac{b\left(3a+b+2a\right)}{2}\)

\(=\dfrac{a\left(5b+a\right)+b\left(5a+b\right)}{2}\)

\(=\dfrac{a^2+10ab+b^2}{2}\)

\(\le\dfrac{2+10}{2}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2018

a)

Đặt

\(\sqrt{1+x}=a; \sqrt{1-x}=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=\sqrt{(1+x)(1-x)}=\sqrt{1-x^2}\\ a\geq b\\ a^2+b^2=2\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\frac{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-ab}(a^3+b^3)}{a^2+b^2-ab}=\frac{\sqrt{\frac{a^2+b^2-2ab}{2}}(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+b^2-ab}\)

\(=\sqrt{\frac{a^2-2ab+b^2}{2}}(a+b)=\sqrt{\frac{(a-b)^2}{2}}(a+b)=\frac{1}{\sqrt{2}}|a-b|(a+b)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}(a-b)(a+b)=\frac{1}{\sqrt{2}}(a^2-b^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[(1+x)-(1-x)]=\sqrt{2}x\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2018

Sửa đề: \(\frac{25}{(x+z)^2}=\frac{16}{(z-y)(2x+y+z)}\)

Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì:

\(k=\frac{a}{x+y}=\frac{5}{x+z}=\frac{a+5}{2x+y+z}=\frac{5-a}{z-y}\) ($k$ là một số biểu thị giá trị chung)

Khi đó:

\(\frac{16}{(z-y)(2x+y+z)}=\frac{25}{(x+z)^2}=(\frac{5}{x+z})^2=k^2\)

Mà: \(k^2=\frac{a+5}{2x+y+z}.\frac{5-a}{z-y}=\frac{25-a^2}{(2x+y+z)(z-y)}\)

Do đó: \(\frac{16}{(z-y)(2x+y+z)}=\frac{25-a^2}{(2x+y+z)(z-y)}\Rightarrow 16=25-a^2\)

\(\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=\pm 3\)

Suy ra:
\(Q=\frac{a^6-2a^5+a-2}{a^5+1}=\frac{a^5(a-2)+(a-2)}{a^5+1}=\frac{(a-2)(a^5+1)}{a^5+1}=a-2=\left[\begin{matrix} 1\\ -5\end{matrix}\right.\)

14 tháng 8 2016

a) Ta có: \(a^2-1\le0;b^2-1\le0;c^2-1\le0\) 

\(\Rightarrow\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\le0\)

\(a^2+b^2+c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) ( vì \(abc\ge0\) )

Có \(b-1\le0\Rightarrow a^2b\sqrt{b}\left(b-1\right)\le0\Rightarrow a^2b^2\le a^2b\sqrt{b}\)

Tương tự: \(\hept{\begin{cases}b^2c^2\le b^2c\sqrt{c}\\c^2a^2\le c^2a\sqrt{a}\end{cases}\Rightarrow dpcm}\)

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...
Đọc tiếp

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!

Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).

Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:

\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).

Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).

Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).

b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).

c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).

Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).

8
21 tháng 10 2019

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\)  (1) 

áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2\(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)

(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\)   <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\)  ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

21 tháng 10 2019

4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)

\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)

1. Chứng minh rằng \(5^{8^{2006}}\) \(+\)\(5\) chia hết cho 62. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)3.Cho biểu thức:P= \(\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab-1}}-1\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1\right)\)a) Rút gọn Pb) Cho a+b =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P4. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện...
Đọc tiếp

1. Chứng minh rằng \(5^{8^{2006}}\) \(+\)\(5\) chia hết cho 6

2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

3.Cho biểu thức:

P= \(\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab-1}}-1\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1\right)\)

a) Rút gọn P

b) Cho a+b =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P

4. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)

5. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn hằng đẳng thức:

\(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)

6. Đa thức \(F\left(x\right)\)chia cho \(x+1\)dư 4, chia cho \(x^2+1\)dư \(2x+3\). Tìm đa thức dư khi \(F\left(x\right)\) chia cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

Giúp em ạ. Giải từng câu cũng được ạ. Mai em nộp bài rồi. 

1
9 tháng 2 2017

\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có: 

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Cần cách khác thì nhắn cái

9 tháng 6 2017

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho 2 bộ số (a;b) và \(\left(\sqrt{3b\left(a+2b\right)};b\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\right)\) ta được:

\(P^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(6a^2+6ab+6b^2\right)=12\left(a^2+ab+b^2\right)=12\left(2+ab\right)\le12\left(2+1\right)=36\)(vì \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{2}{2}=1\))

Do đó \(P^2\le36\Leftrightarrow P\le6\) (không có giá trị nhỏ nhất vì P luôn lớn hoặc =0 nên không thể lớn hơn hoặc = -6)

Vậy Max P= 6 khi a=b=1