H
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
H
1
17 tháng 7 2018
Ta có: \(a\sqrt{b+1}=\frac{a\sqrt{\left(b+1\right)2}}{\sqrt{2}}\le a\frac{b+1+2}{2\sqrt{2}}=\frac{ab+3a}{2\sqrt{2}}\)
Tương tự: \(b\sqrt{a+1}\le\frac{ab+3b}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{3\left(a+b\right)+2ab}{2\sqrt{2}}\le\frac{6+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{8}{2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
Dấu = khi a=b=1
Ta có: \(a+b=2\Rightarrow b=2-a\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+1}=a\sqrt{3-a}\)
Lại có: \(\hept{\begin{cases}a;b>0\\a+b=2\end{cases}}\Rightarrow0\le a;b\le2\)
Mặt khác: \(a\le2\Rightarrow3-a\ge1\)
\(\Rightarrow\sqrt{3-a}\ge1\)
\(\Rightarrow a\sqrt{3-a}\ge a\) Do \(a\ge0\)
Tương tự suy ra \(M\ge a+b=2\)
Dấu = khi \(\left(a;b\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)
Vậy \(M_{Max}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=1\)
\(M_{Min}=2\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)
N
11 tháng 9 2019
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
N
11 tháng 9 2019
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
DT
1
17 tháng 8 2019
Có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow a+b\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow2\ge a+b\)
\(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)
AD BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y\in Z^+\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}\ge\frac{4}{4}=1\) ( vì \(2\ge a+b\) )
\(\Rightarrow S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy \(S_{max}=1\Leftrightarrow a=b=1\)
S
1
21 tháng 4 2018
Ta có:\(a+b=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow2\ge a+b\)
\(N=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}=2-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}\le2-\frac{4}{a+1+b+1}\)
\(=2-\frac{4}{a+b+2}\le2-\frac{4}{2+2}=1\)
Nên GTLN của N là 1 đạt được khi \(a=b\Rightarrow2a=2a^2\Rightarrow2a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=1\)
H
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Tìm GTNN của
\(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
2
4 tháng 8 2020
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Một cách tương ứng khi đó:
\(\Rightarrow P=a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}\)
\(=3+3-\frac{\frac{3^2}{3}+3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
5 tháng 8 2020
sử dụng bđt Cosi ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a-1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
chứng minh tương tự ta cũng được \(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge a+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
từ (1)(2)(3) => \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
mặt khác a2+b2+c2>= ab+bc+ca hay 3(ab+bc+ca) =< (a+b+c)2=9
do đó \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{3}{2}+3-\frac{9}{6}=3\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
TM
27 tháng 5 2017
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
TM
27 tháng 5 2017
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
1 tháng 12 2019
Dự đoán điểm rơi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Khi đó:
\(S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(=\left(a+b+c+\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)+8\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)\)
\(\ge6\sqrt[6]{a\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{9a}\cdot\frac{1}{9b}\cdot\frac{1}{9c}}+24\sqrt[3]{\frac{1}{9a}\cdot\frac{1}{9b}\cdot\frac{1}{9c}}\)
\(=2+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge2+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge10\)
T
2 tháng 12 2019
Mù mắt với AM-GM cho 10 số:v
\(S=\left(a+b+c\right)+9\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)\)\(\ge10\sqrt[10]{\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)^9}\)\(\ge10\sqrt[10]{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)\left[3\sqrt[3]{\frac{1}{9^3abc}}\right]^9}=10\sqrt[10]{\left(3\sqrt[3]{abc}\right).\left[3^9\left(\frac{1}{9^3abc}\right)^3\right]}\)
\(=10\sqrt[10]{3^{10}.\frac{\sqrt[3]{abc}}{\left(3^6abc\right)^3}}=10\sqrt[10]{\frac{1}{3^8\sqrt[3]{\left(abc\right)^8}}}\ge10\sqrt[10]{\frac{1}{3^8\sqrt[3]{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^8}}}\ge10\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy.....
Ta có: \(N=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2ab}\ge\frac{1}{1+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Lại có: \(\frac{a}{b+1}=\frac{a}{2-a}\)
Do \(a;b\ge0\); a+b=1
\(\Rightarrow0\le a\le1\)
\(\Rightarrow2-a\ge1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2-a}\le a\left(a\ge0\right)\)
Tương tự suy ra \(N\le a+b=1\)
Dấu = xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;1\right);\left(1;0\right)\)
Vậy \(N_{Min}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
\(N_{Max}=1\Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(0;1\right);\left(1;0\right)\)