Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy bđt đúng với n=1.
Giả sử bđt đúng với n=k. Ta cần c/m bđt đúng với n=k+1
Thật vậy ta có: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\le\frac{a^n+b^n}{2}\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1}\)\(\le\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^k.\frac{a+b}{2}\le\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\left(1\right)\)
Ta có \(VT\left(1\right)=\left(\frac{a+b}{2}\right)^k.\frac{a+b}{2}\le\frac{a^k+b^k}{2}.\frac{a+b}{2}=\frac{a^{k+1}+a^kb+ab^k+b^{k+1}}{4}\)\(\le\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\frac{a^{k+1}+ab^k+a^kb+b^{k+1}}{4}\ge0\Leftrightarrow\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)\ge0\left(2\right)\)
Ta chứng minh (2): * Giả sử \(a\ge b\)và giả thiết cho \(a\ge-b\)\(\Leftrightarrow a\ge\left|b\right|\Leftrightarrow a^k\ge\left|b\right|^k\ge b^k\Rightarrow\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)\ge0\)
* Giả sử \(a< b\)và giả sử \(-a< b\)\(\Leftrightarrow\left|a\right|^k< b^k\Leftrightarrow a^k< b^k\Leftrightarrow\left(a^k-b^k\right)\left(a-b\right)\ge0\)
Vậy bđt (2) luôn đúng \(\Rightarrowđpcm\)
Đổi: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n=\frac{\left(a+b\right)^n}{2^n}=\frac{a^n+b^n}{2^n}\)
Vì: \(a^n+b^n=a^n+b^n\)
\(2^n\ge2\)
=> \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\le\frac{a^n+b^n}{2}\)
Áp dụng BĐT Bernoulli ta có:
\(\left(\frac{2x}{x+y}\right)^n=\left(1+\frac{x-y}{x+y}\right)^n\ge1+\frac{n\left(x-y\right)}{x+y}\)
\(\left(\frac{2y}{x+y}\right)^n=\left(1-\frac{x-y}{x+y}\right)^n\ge1-\frac{n\left(x-y\right)}{x+y}\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(\left(\frac{2x}{x+y}\right)^n+\left(\frac{2y}{x+y}\right)^n\ge2\) Hay \(\frac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\)
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{\left(a+b+c\right)c}=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c}\right)=0\)
mà \(\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c}\right)\ne0\)với mọi a,b,c
\(\Rightarrow\)a+b=0\(\Leftrightarrow\)a=-b là hai số đối nhau (1)
từ đó được \(a^n=-b^n\)với mọi n lẻ.
Khi đó \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\Leftrightarrow\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)luôn đúng (2)
Từ (1)và(2) ta được đpcm
c) \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ax\right)^2+2axby+\left(by\right)^2\le\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2axby\le\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay\right)^2-2axby+\left(bx\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)