Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{b^2}{\left(y^2-xz\right)^2}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}\) (1)
=> \(\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}.\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}=\frac{b}{y^2-xz}.\frac{c}{z^2-xy}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}\)
a^2/(x^2-yz)^2 = (a^2-bc)/[(x^2-yz)^2 - (y^2-xz)(z^2-xy)] = (a^2-bc)/[x (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)] =>
(a^2-bc)/x = [a^2/(x^2 - yz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (2)
Thực hiện tương tự ta cũng có
(b^2-ac)/y = [b^2/(y^2 - xz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (3)
(c^2-ab)/z = [c^2/(z^2 - xy)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (4)
Từ (1),(2),(3),(4) => (a^2-bc)/x = (b^2-ac)/y = (c^2-ab)/z.
\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}\\\frac{z}{c}+\frac{x}{a}=\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\\\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}+\frac{x}{a}\Rightarrow\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}.\text{đăt}k=\frac{x}{a}=\frac{z}{c}=\frac{y}{b}\Rightarrow x=ak,z=ck,y=bk\)
ta có: \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{k^2.\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)}=k^2\Rightarrow k^2=2k\Rightarrow k^2-2k=0\Rightarrow k.\left(k-2\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=0\\k=2\end{cases}\text{mà a,b,c và x,y,z khác 0. }\Rightarrow k=2\Rightarrow x=2a,y=2b,z=2c}\)
p/s: bài nì khó chơi vc =.=" sai sót bỏ qua ^^'
với x=y=z khác 0 và a,b,c khác nhau là 1 số bất kỳ khác 0 thì (1) thỏa mãn và (2) không thỏa mãn
=> Không thể CM
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-zx}=\frac{c}{z^2-xy}\) (*)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}=\frac{a^2-bc}{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}\)
\(=\frac{a^2-bc}{x^4-3x^2yz+xy^3+xz^3}=\frac{a^2-bc}{x.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
Làm tương tự như trên. ta có:
\(\frac{b^2-ca}{y}=\frac{b^2}{\left(y^2-zx\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
\(\frac{c^2-ab}{z}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
Từ (*) \(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\left(đpcm\right)\)