Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
dcv_new
\(\Sigma\frac{a^2}{pab+qca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{p+q}\)
2, ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}\)
vậy ta được \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{\frac{b}{y}}\cdot\sqrt{y}+\sqrt{\frac{c}{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\le\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)=S\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{x}:\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{y}:\sqrt{\frac{b}{y}}=\sqrt{z}:\sqrt{\frac{c}{z}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\\\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}=\frac{z}{\sqrt{c}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
vậy min (x+y+z)=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
trên đ/thẳng CR lấy M, BQ lấy N sao cho MN qua A và MN//BC
\(\Rightarrow\frac{PB}{PC}=\frac{NA}{MA}\)(vì MN//BC, Hệ quả Đ.L.Thales)
Và \(\frac{QC}{QA}=\frac{BC}{NA}\) ( NM//BC), \(\frac{RA}{RB}=\frac{AM}{BC}\) (MN//BC)
Từ đó có \(\frac{PB}{PC}.\frac{QC}{QA}.\frac{RA}{RB}=\frac{NA}{MA}.\frac{BC}{NA}.\frac{MA}{BC}=1\)
a, Ta cần phải chứng minh (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge4\) vì
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(cái này bạn tìm hiểu kĩ hơn nha,nhưng mk nghĩ thế này đc rồi đó)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b.
d,(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=3+(\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\))+(\(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\))\(\ge\)3+2+2+2=9
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b=c
e,Xét hiệu :
\(^{a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(a+b+c\right)}\) => cái này bạn nhân ra trước rồi phân tích đa thức thành nhân tử nha.
=\(\left(a+b+c\right)\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\) \(\Rightarrow\)ĐPCM
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2\sqrt{\frac{ab}{ab}}+2\sqrt{\frac{ac}{ac}}+2\sqrt{\frac{bc}{bc}}=2+2+2=6\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Bài này bạn chỉ cần chuyển vế biến đổi thôi là được , mình làm mẫu câu 2) :
\(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2n+b^2m}{mn}-\frac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(a^2n+b^2m\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right).mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2mn+\left(bm\right)^2+\left(an\right)^2+b^2mn-a^2mn-2abmn-b^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(bm-an\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bm=an\)
Câu 3) áp dụng câu 2) để chứng minh dễ dàng hơn, ghép cặp 2 .
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}=2a\) ; \(\frac{b^2}{c}+c\ge2b\) ; \(\frac{c^2}{a}+a\ge2a\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(A=\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{pab+qac}+\frac{b^2}{pbc+qab}+\frac{c^2}{pac+qbc}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{p\left(ab+bc+ca\right)+q\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{p+q}\)
Ta đặt kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh là (1)
Ta thấy : \(a=\sqrt{\frac{a}{pb+qc}}\cdot\sqrt{a\left(pb+qc\right)}\)
\(b=\sqrt{\frac{b}{pc+qa}}\cdot\sqrt{b\left(pc+qa\right)}\)
\(c=\sqrt{\frac{c}{pa+qb}}\cdot\sqrt{c\left(pa+qb\right)}\)
Gọi vế trái của bất đẳng thức (1) là H
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=\)(\(\sqrt{\frac{a}{pb+qc}}\cdot\sqrt{a\left(pb+qc\right)}\)+ \(\sqrt{\frac{b}{pc+qa}}\cdot\sqrt{b\left(pc+qa\right)}\)+ \(\sqrt{\frac{c}{pa+qb}}\cdot\sqrt{c\left(pa+qb\right)}\))2 \(\le\)\(\text{H}.\left[a\left(pb+qc\right)+b\left(pc+qa\right)+c\left(pa+qb\right)\right]\)
= \(\text{H}\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)\) (2)
Mặt khác : \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
bới : \(3\left(ab+bc+ca\right)=\left(ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\)\(\le\)\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
Với kq trên từ (2) ta suy ra được : \(\left(a+b+c\right)^2\le\text{H}\left(p+q\right)\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\text{H}\ge\frac{3}{p+q}\left(\text{vì }a+b+c>0,p+q>0\right)\)
Vậy \(\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\ge\frac{3}{p+q}\left(đpcm\right)\)