Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : 2(a2 + b2 ) - ( a + b) 2 -a2 -2ab + b2 =( a-b)2 \(\ge0\)
=> 2(a2 + b2 ) \(\ge\left(a+b\right)^2\)
tương tự : 2(b2 +c2 ) \(\ge\)( b + c)2
2 (c2 + a2) \(\ge\)( c + a)2
=> P \(\le\frac{c}{a+b+1}+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}\)
\(\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}\)( do a ,b, c \(\le1\))
= \(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Vậy Max P = 1 <=> a = b = c =1
Trước hết ta chứng minh bài toán quen thuộc:
Cho \(abc=1\) thì \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
\(VT=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+abc}+\frac{b}{abc+ab+b}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{c\left(b+1+ab\right)}+\frac{b}{1+ab+b}\)
\(=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}=\frac{1+ab+b}{ab+b+1}=1\)
\(P=\sum\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\sum\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}\le\sum\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
\(P=\sum\frac{1}{a^2+1+2\left(b^2+1\right)}\le\sum\frac{1}{2a+4b}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{a+b+b}\le\frac{1}{18}\sum\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{18}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{6}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Ta có \(\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}=\sqrt{bc+a^2bc}=\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Đặt BT đề cho là P
\(\Leftrightarrow P=\sum\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+c}}\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{c+b}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
\(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{z}\left(\frac{1}{x}+1\right)}=\frac{xyz}{x\left(x+1\right)}=\frac{yz}{x+1}\)
Tươn tự rồi cộng vế theo vế:
\(A=\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(x+1\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(y+1\right)}\)
Đặt \(x+y=p;y+z=q;z+x=r\Rightarrow p+q+r=2\)
\(A\le\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(z+1\right)}=\Sigma\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left[\left(z+y\right)+\left(z+x\right)\right]}=\frac{p^2}{4\left(q+r\right)}+\frac{r^2}{4\left(p+q\right)}+\frac{q^2}{4\left(p+r\right)}\)
Sau khi đổi biến,cô si thì em ra thế này.Ai đó giúp em với :)
Xét
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc\le1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) và các hoán vị.
o lờ mờ dấu "=" xảy ra khi a=b=0;c=1 và các hoán vị hoặc a=b=1;c=0 và các hoán vị
\(A=a\left(1-b\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0 hoặc a=b=c=1
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:\(a,b,c\in\left(0;1\right)\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc\ge0\)
\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi:(a,b,c)=(0;0;1);(0;1;1) và các hoán vị