Question

[APTX 4869]

Cho \(a,b,c\in N\)và \(a^2+b^2+c^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\).

C/M : ab , bc , ca và ab + bc + ca đều là số chính phương

Answer 1

[★๖ۣۜßảo๖ۣۜPɦα♏๖ۣۜ[EηgĻïšħ☯€lub]★]

\(a^2+b^2+c^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=4\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=2^2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2=ab+bc+ac\)

Suy ra ab+bc+ca là số chính phương