Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách giải khác đây:
Áp dụng bđt bunhia copxki ta có \(A^2\le6\left(a+b+c\right)=6\)vì a+b+c=1
nên \(A\le\sqrt{6}\)
Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Việt Lâm, @No choice teen, @Trần Thanh Phương, @Akai Haruma
giúp e vs ạ! Cần gấp!
thanks nhiều!
\(1.\)\(a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\le\frac{\left(a+b\right)^8}{256}\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^9}{256}\)
\(\Leftrightarrow a^3b^3\left(a+b\right)^3\left(a^3+b^3\right)\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\)
\(VT=ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).ab\left(a+b\right).\left(a^3+b^3\right)\)
\(\le\left(\frac{ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+ab\left(a+b\right)+\left(a^3+b^3\right)}{4}\right)^4\)
\(\le\frac{\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)^4}{256}\)
\(\le\frac{\left(a+b\right)^{12}}{256}\left(đpcm\right).\)
\(2.\) \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a}\ge1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}\)
\(\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\\\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2.\left(1+b\right)^2.\left(1+c\right)^2}}\)\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\) \(1\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\) \(abc\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right).\)
Để ý: \(ab+bc+ca=\frac{\left[\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}{2}\).
Do đó đặt \(a^2+b^2+c^2=x>0;a+b+c=y>0\). Bài toán được viết lại thành:
Cho \(y^2+5x=24\), tìm max:
\(P=\frac{x}{y}+\frac{y^2-x}{2}=\frac{5x}{5y}+\frac{y^2-x}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{y^2-\frac{24-y^2}{5}}{2}\)
\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{3\left(y^2-4\right)}{5}\)\(=\frac{3y^3-y^2-12y+24}{5y}\)
Đặt \(y=t\). Dễ thấy \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)=3t^2-5\left(ab+bc+ca\right)\)
Và dễ dàng chứng minh \(ab+bc+ca\le3\)
Suy ra \(3t^2=12+5\left(ab+bc+ca\right)\le27\Rightarrow t\le3\). Mặt khác do a, b, c>0 do đó \(0< t\le3\).
Ta cần tìm Max P với \(P=\frac{3t^3-t^2-12t+24}{5t}\)và \(0< t\le3\)
Ta thấy khi t tăng thì P tăng. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi t lớn nhất.
Khi đó P = 3. Vậy...
Nhân 2 vế của giả thiết với \(abc\) ta có: \(ab+bc+ca=abc\)
Ta có: \(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b^2}{b+ca}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\ge\frac{3b}{4};\frac{c^2}{c+ab}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\ge\frac{3c}{4}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT+\frac{4a+4b+4c}{8}\ge\frac{3a+3b+3c}{4}\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{2a+2b+2c}{4}\ge\frac{3a+3b+3c}{4}\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=abc\)
\(VT=\frac{a^3}{a^2+abc}+\frac{b^3}{b^2+abc}+\frac{c^3}{c^2+abc}\)
\(VT=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}+\frac{b^3}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{c^3}{c^2+ab+bc+ca}\)
\(VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\\\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+b}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{64}}=\frac{3b}{4}\\\frac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{64}}=\frac{3c}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge\frac{a+b+c}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\ge\frac{a+b+c}{4}\left(đpcm\right)\)
t nghĩ ngoài SOS ra thì không còn lời giải sơ cấp nào khác, nếu Max = 1, không có Wolfram Alpha cũng không chắc lắm.
Thử pqr xem nào:
\(P=\frac{ab^2+bc^2+ca^2+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+6}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)+4\left(a+b+c\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(\le\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}+\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)+4\left(a+b+c\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2}+\frac{1}{2}\left(pq-3r\right)+4p}{r+2q+4p+8}\le1\)
Có: \(p^2-2q=3\therefore q=\frac{\left(p^2-3\right)}{2}\). Từ đó quy bài toán về chứng minh:
\(\frac{5}{2}r+\frac{\left(14-3p\right)\left(3p+1\right)^2}{108}+\frac{263}{54}\ge\frac{1}{2}\sqrt{-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2}\)
Vì \(0< p=a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\) nên cả 2 vế đều không âm.
Lúc này bất đẳng thức tương đương:
(Đoạn này gõ Latex, không hiên thì vào thống kê hỏi đáp nhá)
\(\Leftrightarrow f\left(r\right)\ge0\). Mặt khác \(f'\left(r\right)=26r+\frac{\left(-15p+10+2\sqrt{415}\right)\left(15p-10+\sqrt{415}\right)^2}{1350}+\frac{904}{27}-\frac{83\sqrt{415}}{135}>0\)
Nên khi r giảm thi f giảm. Mặt khác do \(\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\ge0\)
Nên \(r\ge\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left(p^2-3q\right)^3}+9pq\right)=\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left\{\frac{\left(9-p^2\right)}{2}\right\}^3}+\frac{9p\left(p^2-3\right)}{2}\right)\)
Vì vậy \(f\left(r\right)\ge f\left(\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left\{\frac{\left(9-p^2\right)}{2}\right\}^3}+\frac{9p\left(p^2-3\right)}{2}\right)\right)\ge0\)
Bác Cool Kid chứng minh BĐT 1 biến ở cuối thử xem:v
Chết, cách kia sai rồi, đánh thiếu số 6 hèn gì không ra -_-