Câu hỏi của Nguyễn Thị Huyền Trang

Question

Cho a,b,c,d,e thay đổi thuộc đoạn [-1;1] và a+b+c+d=0. tìm max $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

Vì $a,b,c,d,e\in [-1;1]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2\leq |a|\
b^2\leq |b|\
c^2\leq |c|\
d^2\leq |d|\
e^2\leq |e|\
|d|; |e|\leq 1\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\leq |a|+|b|+|c|+|d|+|e|(*)$

Có $5$ số nên theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ít nhất $\left[\frac{5}{2}\right]+1=3$ số cùng dấu. Giả sử đó là $a,b,c$

Khi đó $ab\geq 0; c(a+b)\geq 0$

$\Rightarrow |a|+|b|+|c|=|a+b|+|c|=|a+b+c|$

$\Rightarrow |a|+|b|+|c|+|d|+|e|=|a+b+c|+|d|+|e|$

$=|-(d+e)|+|d|+|e|=|d+e|+|d|+|e|$

$\leq |d|+|e|+|d|+|e|\leq 1+1+1+1=4(**)$

Từ $(*);(**)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\leq 4$ hay max của biểu thức bằng $4$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c,d,e)=(1,1,0,-1,-1)$ và hoán vị.Câu trả lời: Lời giải:

Vì $a,b,c,d,e\in [-1;1]\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^2\leq |a|\
b^2\leq |b|\
c^2\leq |c|\
d^2\leq |d|\
e^2\leq |e|\
|d|; |e|\leq 1\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\leq |a|+|b|+|c|+|d|+|e|(*)$

Có $5$ số nên theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ít nhất $\left[\frac{5}{2}\right]+1=3$ số cùng dấu. Giả sử đó là $a,b,c$

Khi đó $ab\geq 0; c(a+b)\geq 0$

$\Rightarrow |a|+|b|+|c|=|a+b|+|c|=|a+b+c|$

$\Rightarrow |a|+|b|+|c|+|d|+|e|=|a+b+c|+|d|+|e|$

$=|-(d+e)|+|d|+|e|=|d+e|+|d|+|e|$

$\leq |d|+|e|+|d|+|e|\leq 1+1+1+1=4(**)$

Từ $(*);(**)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\leq 4$ hay max của biểu thức bằng $4$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c,d,e)=(1,1,0,-1,-1)$ và hoán vị.

Nguyễn Thị Huyền Trang · Answer

Nguyễn Việt Lâm Uyen Vuuyen Akai HarumaCâu trả lời: Nguyễn Việt Lâm Uyen Vuuyen Akai Haruma

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP