Question

[Thái Kim Huỳnh]

Cho a,b,c,d thuộc N^* thỏa mãn a/b<c/d. Chứng minh rằng: 2014a+c/2014b+d <c/d

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}-\frac{c}{d}<0\Rightarrow \frac{ad-bc}{bd}<0$

$\Rightarrow ad-bc<0$ (do $bd>0$ với $b,d\in\mathbb{N}^*$)

Xét hiệu: 

$\frac{2014a+c}{2014b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(2014a+c)-c(2014b+d)}{d(2014b+d)}$

$=\frac{2014(ad-bc)}{d(2014b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(2014b+d)>0$ với mọi $b,d\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow \frac{2014a+c}{2014b+d}<\frac{c}{d}$