Câu hỏi của Charlotte Yun Amemiya

Question

Cho ABCD là hình bình hành. Trên AB lấy E, trên CD lấy F sao cho AE=CF. Trên AD lấy H, trên BC lấy G sao cho DH=BG. Chứng minh:

a) EGFH là hình bình hành

b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy

Nữ Thần Mặt Trăng · Accepted Answer

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{HAE}=\widehat{GCF}$ và $AD=BC$.

Mà $DH=BG\Rightarrow AD-DH=BC-BG$ hay $AH=CG$.

Xét $\triangle AHE$ và $\triangle CGF$ có:
$+AE=CF \ (gt)$

$+\widehat{HAE}=\widehat{GCF} \ (cmt)$

$+AH=CG \ (cmt)$

$\Rightarrow \triangle AHE=\triangle CGF \ (c.g.c)$

$\Rightarrow HE=GF$.

Cmtt: $EG=FH$.

Suy ra tứ giác $EGFH$ là hình bình hành.

b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$.

Tứ giác $AECF$ có $AE // CF; AE=CF$ nên là hình bình hành $\Rightarrow$ Hai đường chéo $AC$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm của $EF$.

Tứ giác $EGFH$ là hình bình hành nên hai đường chéo $EF$ và $GH$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $EF\Rightarrow O$ là trung điểm của $GH$.

Vậy các đường thẳng $AC, BD, EF, GH$ đồng quy tại $O$.Câu trả lời: a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{HAE}=\widehat{GCF}$ và $AD=BC$.