Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(N=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=6^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1
Ta có đánh giá \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) \(\forall a:0< a< 3\)
Thật vật, biến đổi tương đương: \(\Leftrightarrow3+a^2\ge2a\left(3-a\right)\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\) ; \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)
Cộng vế với vế: \(N\ge2\left(a+b+c\right)=6\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Xét \(P=a^2+b^2+c^2+d^2-\left(a+b+c+d\right)\)
\(=\left(a^2-a\right)+\left(b^2-b\right)+\left(c^2-c\right)+\left(d^2-d\right)\)
\(=\left(a-1\right)a+\left(b-1\right)b+\left(c-1\right)c+\left(d-1\right)d\)
Vì (a-1)a là tích 2 số nguyên liên tiếp => (a-1)a chia hết cho 2 hay (a-1)a là số chẵn
Tương tự : (b-1)b;(c-1)c;(d-1)d cũng là các số chẵn
=>P là số chẵn
=>\(P=a^2+b^2+c^2+d^2-\left(a+b+c+d\right)\) là số chẵn
Mà theo đề: \(a^2+b^2=c^2+d^2=>a^2+b^2+c^2+d^2\) là số chẵn
=>a+b+c+d cũng là số chẵn ,mà a+b+c+d chia hết cho 2 nên sẽ lớn hơn 2 (do a,b,c,d nguyên dương)
=>a+b+c+d là hợp số (đpcm)
Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)
Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
a, Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên
( d ) đi qua A( 2,0 )
Thay A( 2,0 ) vào đường thẳng d ta được
\(\left(1-m\right).2+m+2=0\)
\(2-2m+m+2=0\)
\(4-m=0\)
\(m=4\)
b, Đường thẳng d song song vs đường thẳng y = 2x - 1 nên
1 - m = 0 và m + 2 khác -1
m = 1 và m khác -3
a=b=c=2 thay vào ra min cái này là tay tui tự gõ ra a=b=c=2 chả có bước nào. còn chi tiết sau nhớ nhắc tui làm :D
Áp dụng BĐT Mincopxki và AM-GM có:
\(T=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{16}+\frac{15\left(a+b+c\right)^2}{16}}\)
\(=\sqrt{2\sqrt{\frac{81}{\left(a+b+c\right)^2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{16}}+\frac{15\cdot6^2}{16}}\)
\(=\sqrt{2\sqrt{\frac{81}{16}}+\frac{15\cdot6^2}{16}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Khi \(a=b=c=2\)
\(\frac{1}{a}-1=\frac{a+b+c+d}{a}-1=\frac{b+c+d}{a}\ge\frac{3\sqrt[3]{bcd}}{a}\)
tương tự với 3 cái còn lại rồi nhân vô
Tình yêu sao khác thường
Đôi lúc ta thật kiên cường
Nhiều người trách mình điên cuồng
Cứ lao theo dù không lối ra
Cách 1. Áp dụng BĐT AM-GM :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)
Cách 2. Áp dụng BĐT Cauchy : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\) , \(\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge c\), \(\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge d\)
Cộng theo vế : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}+\frac{1}{4}.2.\left(a+b+c+d\right)\ge a+b+c+d\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)
Bạn nhân vào chuyển hết vế qua . Chứng minh thành tổng các bình phương nha :
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad\ge0\)
\(\Leftrightarrow b^2-ab+\frac{1}{4}a^2+c^2-ac+\frac{1}{4}a+d^2-ad+\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-\frac{1}{2}a\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}a\right)^2+\left(d-\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sqrt{a}\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
đề sai ko bạn ơi ??//