Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ÁP DỤNG BĐT BUNHIA TA CÓ:
\(\left(a^2+1+1+1\right)\left(1+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+c}{2}\right)^2+1\right)\ge\left(1.a+\frac{b+c}{2}.1+\frac{b+c}{2}.1+1.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2+3\right)\left(2+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
MẶT KHÁC ÁP DỤNG BĐT AM-GM TA CÓ:
\(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)=3b^2+3c^2+b^2c^2+1+8=2b^2+2c^2+\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2c^2+1\right)+8\)
\(\ge2b^2+2c^2+2bc+2bc+8=2\left(b+c\right)^2+8=4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\)
NHƯ VẬY:
\(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2}+2\right)\left(a^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c=1
Ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại trong ba số\(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) tồn tại ít nhất hai số có tích không âm. Không mất tính tổng quát,giả sử rằng \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8=4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+1+c^2\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki suy ra \(VT\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\Rightarrow Q.E.D\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Đúng không ạ???
Bài 2:
Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\), ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\) (1)
Lại áp dụng tương tự ta có:
\(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô -si, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b^3}.\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{3}{b}\)
\(\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\sqrt[3]{\dfrac{b^2}{c^3}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{3}{c}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{a^3}.\dfrac{1}{c}.\dfrac{1}{c}}=\dfrac{3}{a}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{a^2}{a^3}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
p/s: không chắc lắm, có gì sai xót xin giúp đỡ
bạn chia a^2 cho ca tu và mẫu . từ giả thiết ta có : 3abc >= ab +bc+ ca . suy ra : 1/a + 1/b +1/c<=3 . sau khi chia ở A : ta có si ở mẫu . rồi áp dụng cô si ngc la ra . ban nao ko hieu thi nhan voi minh
đề sai á? tg ns lăng nhăng lên đây thử xem có ai giải k thôi
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}\)\(=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Theo AM-GM có
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) thì
\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
từ GT suy ra abc >=1 và a/bc + b/ca + c/ab = 3.
áp dụng BĐT Cauchy : a4 + bc >=2a2v(bc) (v(bc) là căn bc).
nên a2/a4 + bc <=1/2v(bc).
do đó M <= 1/2.(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab).
ta chứng minh N = (1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <=3 là xong.
thật vậy.
giả sử a <=b<=c nên 1/v(bc) <= 1/v(ca)<= 1/v(ab).
áp dụng BĐT Trê bư sep ta được (v(a) + v(b) + v(c))/3 . ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= (v(a)/v(bc) + v(b)/v(ca) + v(c)/v(ab)/3.
ta có v(a) + v(b) + v(c) >=3 căn6(abc)>=3.
nên VT >=((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3. (1)
lại có (x + y + z)2 <=3(x2 + y2 + z2) nên (VP)2 <= (a/bc + b/ca + c/ab)/3= 1.
hay VP <= 1 (2).
từ (1) và (2) suy ra ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= 1 hay
(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <= 3
tức N <= 3 (đpcm).
(mình chưa biết đánh nên cố đọc nhé!)