NH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NC
12 tháng 7 2020
Bài làm:
Áp dụng Cauchy dạng cộng mẫu ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{b+2c}\left(2\right)\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{c+2a}\left(3\right)\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức (1);(2); và (3) ta được:
\(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Học tốt!!!!
TT
5 tháng 2 2020
1) Trước hết ta đi chứng minh BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\) (1)
Thật vậy : BĐT (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng )
Vì vậy BĐT (1) đúng.
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\cdot\left[2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh !
5 tháng 2 2020
Bài 1 :
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{cases}}\)
Cộng theo từng vế
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm)
22 tháng 3 2019
Bài 1 : Đề cần có điều kiện a,b,c là các số thực dương
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(=1\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( vì \(a+b+c=1\))
Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 3 số dương ta có :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\end{cases}}\)
Khi đó : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{3\cdot3\cdot\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(đpcm)
N
20 tháng 4 2019
b)\(\Sigma\frac{a}{b+c-a}=\Sigma\frac{a^2}{ab+bc-a^2}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(BĐT Svarxơ)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\)(BĐT Bunhiacopxki)\(=3\)(đpcm)
a)\(\Sigma\frac{a}{b+c}=\Sigma\frac{a^2}{ab+bc}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=1,5>1\)
18 tháng 10 2016
Trước hết bạn chứng minh : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (Chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có : \(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-\left(a+b+c\right)}\ge\frac{9}{6-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{9}{6-3}=3\)
TN
18 tháng 10 2016
Dễ thấy \(0< a,b,c< 2\)
Ta có:
\(\frac{1}{2-a}\ge\frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự với các cái tương tự, ta được:
\(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{a^2+1+b^2+1+c^2+1}{2}=3\)(Đpcm)
Dấu = khi a=b=c=1
23 tháng 3 2019
https://olm.vn/hoi-dap/detail/12121415915.html
vô đi rồi k cho mk
N
4 tháng 10 2019
Ta co:
\(\frac{a^2}{ab+ca-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ca+bc-c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
a,b,c phải dương thì đề bài mới đúng.
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge3.3\)(vì a+b+c=3)
\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge6\)(1)
Mặt khác, \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x;y>0\)
Do đó bất đẳng thức (1) đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)
Chúc bạn học tốt.