VA
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
K
13 tháng 9 2021
Ta có: \(abc\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\) ; \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=3abc\)
=>\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}.3\)
=> \(a+b+c\ge3\)
Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức ta có:
\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+6}\)
Đặt \(a+b+c=x\left(x\ge3\right)\)
=> \(M\ge\frac{x^2}{x+6}\)
Xét \(\frac{x^2}{x+6}\ge\frac{5}{9}x-\frac{2}{3}\)
<=>\(x^2\ge\frac{5}{9}x^2+\frac{8}{3}x-4\)
<=>\(\left(\frac{2}{3}x-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=> \(M\ge\frac{5}{9}x-\frac{2}{3}\ge\frac{5}{9}.3-\frac{2}{3}=1\)
=>\(MinM=1\)xảy ra khi a=b=c=1
AM
12 tháng 6 2016
Từ 2a+2b+2c=3abc chia cả hai vế cho abc>0 ta được
\(2\left(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\right)=3=>\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{2}\)
\(P=\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}-2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Ta có
19 tháng 10 2021
a+b+c=0
⇔⇔(a+b+c)2=0
⇔⇔a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0 mà a2+b2+c2=2
⇒⇒2ab+2bc+2ca=-2
⇔⇔(2ab+2bc+2c)2=4
⇔⇔4a2b2+4c2b2+4a2c2+8abc(a+b+c)=4 mà a+b+c=0
⇒⇒4a2b2+4c2b2+4a2c2=4 (1)
⇔⇔2a2b2+2c2b2+2a2c2=2
Mặt khác:
a2+b2+c2=2 ⇒⇒(a2+b2+c2)2=4
⇔⇔a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)=4 (2)
Từ (1) và (2) ⇒⇒4a2b2+4c2b2+4a2c2=a4+b4+c4+2(a2b2+b2c2+c2a2)
⇔⇔2a2b2+2c2b2+2a2c2=a4+b4+c4
⇒⇒a4+b4+c4=2 (vì 2a2b2+2c2b2+2a2c2=2)
TN
25 tháng 5 2017
Từ \(2a+2b+2c=3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}+\frac{2}{3ab}=1\left(1\right)\)
Khi đó \(P=\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}-\frac{2}{a^2}-\frac{2}{b^2}-\frac{2}{c^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{b}{a^2}\cdot\frac{c}{b^2}\cdot\frac{a}{c^2}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(P_{Min}\) xảy ra khi \(\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\forall a=b=c\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow a=b=c=\sqrt{2}\)
Khi đó \(P_{Min}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-\frac{2}{a^2}-\frac{2}{b^2}-\frac{2}{c^2}=\frac{3\sqrt{2}-6}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)
LM
26 tháng 5 2017
Bài này giải như này cơ:
\(2a+2b+2c=3abc\)\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{2}\)
\(P=\frac{\left(a-1\right)+\left(b-1\right)}{a^2}+\frac{\left(b-1\right)+\left(c-1\right)}{b^2}+\frac{\left(c-1\right)+\left(a-1\right)}{c^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left(a-1\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\left(b-1\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c-1\right)\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge\frac{2\left(a-1\right)}{ac}+\frac{2\left(b-1\right)}{ab}+\frac{2\left(c-1\right)}{bc}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-3\)
\(\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}-3=\sqrt{3.\frac{3}{2}}-3=\frac{3\sqrt{2}-6}{2}\)
Vậy \(minP=\frac{3\sqrt{2}-6}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2}\)
IS
0
LT
0