Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(A=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< \frac{1}{2}-\frac{1}{100}< \frac{1}{2}\)
b) b = a - c => b + c = a
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a^2}{bc}\\\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a^2}{bc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
Bước 2 bạn sai rồi. Vd: \(\frac{1}{3x3}\) đâu bằng hay nhỏ hơn \(\frac{1}{2x3}\)
TA CÓ: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
TA LUÔN CÓ: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c};\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
TỪ (1) VÀ (2) => \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
Cho \(B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Cm B>1
Ta có \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)(vì phân số cùng tử thì mẫu số nào lớn hơn thì phân số đó bé hơn)
CM tương tự ta có\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}\)
\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}\)
Cộng vế theo vế ta có \(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
1 < B
CM B<2
Ta có \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)( Vì ta có công thức \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}\)
Cm tương tự như phần trên rồi cộng vế theo vế ta có B<2
a) Nhân cả hai vế với b, ta có đpcm
b) Đề sai
c) Nhân cả hai vế với b, ta có đpcm
d) Bạn trên đã làm r , mình k trình bày lại nữa
d,
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow\) \(a=k\times b\) ; \(c=k\times d\)
Ta có :
\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{\left(k\times b\right)^2}{b^2}=\frac{k^2\times b^2}{b^2}=k^2\) (1)
\(\frac{c^2}{d^2}=\frac{\left(k\times d\right)^2}{d^2}=\frac{k^2\times d^2}{d^2}=k^2\) (2)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(k\times b\right)^2+\left(k\times d\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\times b^2+k^2\times d^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\times\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\) (3)
Từ (1) ; (2) và (3) => \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow\frac{bc+ac}{abc}=\frac{ab}{abc}\Rightarrow bc+ac=ab\)
\(\Rightarrow ab-ac-bc=0\Rightarrow a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)=c^2\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\Rightarrow\frac{a-c}{c}=\frac{c}{b-c}\)
Sửa đề: chứng minh \(S\ge6\)
Ta có:
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}-2+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)+6\)
\(=\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2+6\ge6\)
\(\Rightarrow\)ĐPCM
Đây nè k cho mình nha:
Ta có \(\frac{a+b}{c}>\frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{b+c}{a}>\frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\frac{a+c}{b}>\frac{a+c}{a+b+c}\)
Suy ra \(S>\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Vậy S > 2
Bài 1:
a) \(\frac{a}{5}=\frac{-3}{b}\)
\(\Rightarrow ab=-15\)
Ta có bảng sau:
| a | 1 | -1 | 15 | -15 |
| b | -15 | 15 | -1 | 1 |
Vậy cặp số \(\left(a;b\right)\) là \(\left(1;-15\right);\left(-1;15\right);\left(15;-1\right);\left(-15;1\right)\)
b) @Nguyễn Huy Thắng
Bài 2:
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}=1\\\frac{b}{c}=1\\\frac{c}{a}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
Vậy a = b = c