Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\) \(=\left(a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right)....\)
Tướng tự bạn tự phân tích là ra kết quả
Với \(a^2+b^2+c^2=1\), ta có: \(\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2+ab-c^2}}\)
\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\)
\(\ge\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(ab+2c^2\right)+\left(a^2+b^2+ab\right)}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+2ab+2c^2}{2}}\)
\(\ge\text{}\Sigma\text{}\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+b^2\right)+2c^2}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}\)
\(=\Sigma\left(ab+2c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)
\(=2+ab+bc+ca\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)
Ta thấy trong ba số thực dương a;b;ca;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng 11 hoặc nhỏ hơn hay bằng 11. Giả sử đó là bb và cc.
Khi đó ta có: (b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1(b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1 suy ra 2abc≥2ab+2ac−2a2abc≥2ab+2ac−2a
Do đó, a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1
Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh: a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)
⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0 (đúng)
Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1a=b=c=1.
Mình viết trên điện thoại có gì sai thông cảm Ta có ab+bc+ac=1
Thì \({\sqrt{1-a^2}}\)
=\({\sqrt{ab+bc+ac+a^2}}\)
= \({\sqrt{(b+a)(a+c)}}\) \(≤{b+2a+c\over2}\)
Thì a/ căn của (1-a^2) ≥ 2a/(b+2a+c)
Tương tự với cách trên thì
b/ căn của (1-b^2)≥ 2b/(a+2b+c)
Và c/ căn của (1-c^2)≥2c/(a+b+2c)
Bạn cộng ba cái đó lại đặt là (1) rồi làm tiếp
Ta có bài toán phụ
\( {1\over {a+b}}≤ {{a+b}\over4ab}\)
\(= {1\over4}({1\over a}+{1\over b})\)
Tách 2a;2b;2c ở từng mẫu rồi áp dụng công thức trên ta đc
(1) \(≤{2a{.1 \over 4}({1\over b+a}+{1\over a+c}})\) +2b (viết tương tự như cái này vì mình viết điện thoại hiư lâu bạn viết tiếp nhá viết tới cái 2c nhân với 1/4 và cái tổng rồi) +
\( {2a\over b+a}+{2a\over a+c}+{2b\over b+a}+{2b\over b+c}+{2c\over a+c}+{2c\over b+c}\)
= 1/4×{[(2a+2b)/(a+b)]+[(2a+2c)/(a+c)]+[(2b+2c)/b+c]}
=1/4 ×(2+2+2)
= 3/2
Vậy Max của S =3/4 khi a=b=c=1/4
Chúc bạn học tốt
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=2\\a^2+b^2+c^2=18\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\\a^2+b^2+c^2=18\end{cases}}\Rightarrow ab+bc+ca=-7\)
Ta có: \(a+b+c=2\Leftrightarrow c-1=1-a-b\Rightarrow ab+c-1=ab-a-b+1=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\Rightarrow\frac{1}{ab+c-1}=\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\)Tương tự, ta được: \(\frac{1}{bc+a-1}=\frac{1}{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\); \(\frac{1}{ca+b-1}=\frac{1}{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}\)
Do đó \(A=\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+\frac{1}{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}+\frac{1}{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}=\frac{a+b+c-3}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=\frac{-1}{abc-\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)-1}=\frac{-1}{-1+7+2-1}=-\frac{1}{7}\)