Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c tm \(ab+bc+ca\le3abc\)
Cm \(\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có : a^2+b^2 +c^2 >= ab+bc+ac ==> a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=3(ab+bc+ac) => (ab+bc+ac)<= ((a+b+c)^2)/3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Áp dụng : được Max B = 3 khi a=b=c=1
HT
\(P=\frac{1}{ab+2}+\frac{1}{bc+2}+\frac{1}{ca+2}\ge\frac{9}{ab+bc+ca+6}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy GTNN của P = 1 đạt tại x = y = z = 1
Ta có BĐT sau:
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a\)
Sử dụng AM - GM ta dễ có được:
\(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)
\(b^3+bc^2\ge2\sqrt{b^4c^2}=2b^2c\)
\(c^3+c^2a\ge2\sqrt{c^4a^2}=2c^2a\)
\(\Rightarrow BĐT\) đầu tiên đúng
Khi đó ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\Rightarrow P\ge a^2b+b^2c+c^2a+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Một vài đánh giá cơ bản rồi đặt ẩn phụ rồi xét đạo hàm phát ra nhé
@huybip5cc, bn giải kĩ ra giúp mk nhé, mk dốt lắm, nhìn vậy ko hiểu đâu ạ, mơn nh!
Ta có : \(p=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4ab}}=\frac{1}{a}\)
\(\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{a+c}{4ac}\ge4\sqrt{\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}.\frac{a+c}{4ac}}=\frac{1}{b}\)
\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}.\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)
Cộng vế với vế ta được \(p+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow p+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow p\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{2a.2b.2c}}=\frac{3}{\sqrt[3]{8abc}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Xét: \(\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\frac{bc}{a\cdot abc\cdot\frac{1}{c}+a\cdot abc\cdot\frac{1}{b}}=\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)(*)
Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{ca}{b^2c+ab^2}=\frac{c^2a^2}{ab+bc}\\\frac{ab}{c^2a+bc^2}=\frac{a^2b^2}{ca+bc}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{bc}{a^2b+ca^2}=\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\)
Ta thấy\(\Sigma_{cyc}\frac{b^2c^2}{ab+ca}\) có dạng: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
Bước cuối Cô-si ba số và kết hợp điều kiện abc=1 là xong
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a, ta có
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^4\)
=>\(\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\ge\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^2\)
theo giả thiết,m ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow3\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)
=>\(\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\ge1\)
dấu bẳng xảy ra <=>a=b=c=1
nhok cho chị mượn chõ chút
Bạn tự vẽ hình nhé!
Kẻ LH vuông góc với AB tại H
dễ dàng có \(\Delta KHL=\Delta MAK\left(ch-gn\right)\)
=>AK=HL
đặt AB=a,AK=x =>AK=HL=BH=x => HK=\(a-2x\)
ta có \(S_{ABC}=\frac{a^2}{2}\) ;\(S_{KML}=\frac{KL^2}{2}=\frac{HK^2+BH^2}{2}=\frac{\left(a-2x\right)^2+x^2}{2}\)
đến đây là tìm min của pt bậc 2 là sẽ ra