cho a+b+c=0CMR: [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b] [c/(a-b) +a/(b-c) + b/(c-a)] =9

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Chọn lớp

Chọn môn

Mua vip

TG

Trần Gia Lâm

23 tháng 11 2017 - olm

cho a+b+c=0

CMR: [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b] [c/(a-b) +a/(b-c) + b/(c-a)] =9

1

TG

Trần Gia Lâm

23 tháng 11 2017

Hướng dẫn: x=a-b y=b-c z=c-a

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

LV

Luyri Vũ

4 tháng 8 2021

Cho a,b,c>0

CMR : \(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\)

1

MY

missing you =

4 tháng 8 2021

đặt biể thức cần chứng minh là P

\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)

\(t\)ương tự

\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c

TM

Tea Milk

24 tháng 3 2018

Cho a,b,c,d,e >0CMR:

\(a+b+c+d+e\ge\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e}\right)\)

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

24 tháng 3 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

\(\frac{a}{4}+b\geq 2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)

\(\frac{a}{4}+c\geq 2\sqrt{\frac{ac}{4}}=\sqrt{ac}\)

\(\frac{a}{4}+d\geq 2\sqrt{\frac{ad}{4}}=\sqrt{ad}\)

\(\frac{a}{4}+e\geq 2\sqrt{\frac{ae}{4}}=\sqrt{ae}\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{ae}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{4}=b=c=d=e\)

L

Lizy

13 tháng 1

cho a,b,c đôi 1 khác nhau và khác 0. CMR: a+b+c=0 thì \(\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}\right)=9\)

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

13 tháng 1

Ta có:

\(\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\left(\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}\right)\)

\(=\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)+\dfrac{a}{b-c}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)+\dfrac{b}{c-a}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\)

Xét:

\(\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)\)

\(=1+\dfrac{c}{a-b}\left[\dfrac{b\left(b-c\right)+a\left(c-a\right)}{ab}\right]=1+\dfrac{c}{a-b}\left(\dfrac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}\right)\)

\(=1+\dfrac{c}{a-b}\left[\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(b-a\right)}{ab}\right]=1+\dfrac{c}{a-b}.\dfrac{\left(b-a\right)\left(a+b-c\right)}{ab}\)

\(=1-\dfrac{c\left(a+b-c\right)}{ab}=1-\dfrac{c.\left(-2c\right)}{ab}=1+\dfrac{2c^2}{ab}\) (do \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\))

Tương tự:

\(\dfrac{a}{b-c}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{2a^2}{bc}\)

\(\dfrac{b}{c-a}\left(\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}\right)=1+\dfrac{2b^2}{ca}\)

\(\Rightarrow P=3+2\left(\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}\right)=3+\dfrac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)

Mặt khác ta có đằng thức quen thuộc:

Khi \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Rightarrow P=3+\dfrac{2.3abc}{abc}=9\)

Y

Yeutoanhoc

30 tháng 5 2021

cho `a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3.CM:a/b+b/c+c/a>=9/(a+b+c)`

Giúp với....

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

31 tháng 5 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)

Ta sẽ cm \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{[3+2(ab+bc+ac)]^3}\geq 9(ab+bc+ac)\)

Đặt \(\sqrt{3+2(ab+bc+ac)}=t\) thì dễ thấy $0< t\leq 3$

Khi đó:

\((a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\Leftrightarrow t^3\geq 9.\frac{t^2-3}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2t^3-9t^2+27\geq 0\)

$\Leftrightarrow (t-3)^2(2t+3)\geq 0$. Luôn đúng với mọi $t>0$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=' xảy ra khi $a=b=c=1$

Y

Yeutoanhoc

31 tháng 5 2021

Cảm ơn cô T^T

C

ChrisD

25 tháng 6 2019 - olm

Cho a,b,c>0 và a^2 + b^2 + c^2 = 3. CMR a/b + b/c + c/a >= 9/a+b+c

0

VD

vu duy anh quân

14 tháng 7 2016 - olm

1.cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn a^3 /(a^2+b^2) + b^3/(b^2+c^2) + c^3/(c^2+a^2) >= (a+b+c)/2

2.cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn (a^3 +b^3+c^3)/2abc + (a^2+ b^2)/c^2 + (b^2+c^2)/(a^2+bc) + (c^2+a^2)/b^2+ac) >= 9/2

0

KT

Kim Tuyết Hiền

13 tháng 9 2020 - olm

Cho 0 ≤a;b;c ≤2 và a-b;b-c;c-a khác 0. Chứng minh rằng: 1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 +1/(c-a)^2 ≥9/4

0

NK

Nguyễn Kim Hoa

27 tháng 12 2019 - olm

Cho a,b,c>0. Chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)>=8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)

1

TT

Thanh Tùng DZ

28 tháng 12 2019

gõ lại đề coi. ghi thế khó nhìn

PS

Phương [Support]

7 tháng 8 2019

Bài 1: Cho \(a,b,c>0;a+b+c=9\). CMR:

\(\frac{a^3+b^3}{ab+9}+\frac{b^3+c^3}{bc+9}+\frac{c^3+a^3}{ca+9}\ge9\)

Bài 2: Cho \(a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=3\). CMR:

\(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Akai Haruma đây nha chị :D

5

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 8 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b+9a}+\frac{b^4}{ab^2+9b}+\frac{b^4}{b^2c+9b}+\frac{c^4}{bc^2+9c}+\frac{c^4}{c^2a+9c}+\frac{a^4}{ca^2+9a}\)

\(\ge \frac{(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+18(a+b+c)}=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+162}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+c^3=\frac{a^3+b^3+b^3}{3}+\frac{b^3+c^3+c^3}{3}+\frac{c^3+a^3+a^3}{3}\geq ab^2+bc^2+ca^2\)

Tương tự: \(a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{2}\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(c+a)+ca(c+a)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\)

\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\)

\(\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leq 6(a^2+b^2+c^2)\)

Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}\)

Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\). Dễ thấy \(t\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=27\). Khi đó:

\(\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}-9=\frac{4t^2}{6t+162}-9=\frac{2(t-27)(2t+27)}{6t+162}\geq 0, \forall t\geq 27\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{4t^2}{6t+162}\geq 9\) (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 8 2019

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\text{VT}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}+b-\frac{bc^2}{b+c^2}+c-\frac{ca^2}{c+a^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2}\right)\)

\(\geq (a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}}+\frac{bc^2}{2\sqrt{bc^2}}+\frac{ca^2}{\sqrt{ca^2}}\right)=(a+b+c)-\frac{1}{2}(\sqrt{ab^2}+\sqrt{bc^2}+\sqrt{ca^2})\)

\(\geq (a+b+c)-\frac{1}{2}\left(\frac{ab+b}{2}+\frac{bc+c}{2}+\frac{ca+a}{2}\right)=\frac{3(a+b+c)-(ab+bc+ac)}{2}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)\geq (ab+bc+ac)^2\)

\(\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ac\)

Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{3(a+b+c)-(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$