Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`
`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`
`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`
`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)
`=>` Đẳng thức được c/m
_________________________________________
`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`
`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`
`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`
`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)
`=>` Đẳng thức được c/m
1. Giải
Ta chứng minh với mọi x, y luôn có : \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\) (1)
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)
ÁP DỤNG (1) ta được
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\left(đpcm\right)\)
2. Ta biến đổi các Đẳng thức : \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{2}-bc+\frac{c^2}{2}\right)-\left(\frac{c^2}{2}-ca+\frac{a^2}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{c}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\ge0\left(đpcm\right)\)
1. (a+b)^2 ≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2≥ 4ab
<=> a2+2ab+b2-4ab≥ 0
<=> a2-2ab+b2≥ 0
<=> (a-b)^2 ≥ 0 ( luôn đúng )
2. a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> (a^2- 2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2) ≥ 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0 ( luôn đúng)
Bài 1 :
Ta có :
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(;a^2+1\ge2a\)
\(;b^2+1\ge2b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Bài 2 :
\(A=x^2-6x+10=\left(x-3\right)^2+1>0\) với mọi x
\(B=\left(x^2-2x+1\right)+\left(9y^2-6y+1\right)+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+\left(3y-1\right)^2+1>0\) với mọi x
Ta biểu thị 2 số hạng liên tiếp của dãy có dạng:\(\frac{\left(n-1\right)n}{2};\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\frac{\left(n-1\right)n}{2}+\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(n-1\right)n+n\left(n+1\right)}{2}\)
\(=\frac{n\left(n-1+n+1\right)}{2}\)
\(=\frac{n\times2n}{2}\)
\(=n^2\)
\(\Rightarrow\)Tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương
\(M=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a-b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(=\left(a^3-b^3\right)-\left(a^3+b^3\right)\)
\(=-2b^3\)
Lại có : \(b< 0\Leftrightarrow-2b^3>0\)
\(\Leftrightarrow M>0\left(đpcm\right)\)