Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)}=2\sqrt{\frac{a+b}{ab}}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le2\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\) ; \(\sqrt{\frac{2}{c}}+\sqrt{\frac{2}{a}}\le2\sqrt{\frac{c+a}{ca}}\)
Cộng vế với vế ta sẽ có điều phải chứng minh
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử \(a\ge b\ge c\)(1)
Có \(\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}=\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{a}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\\frac{2}{b}\le\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{2}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{a}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\\sqrt{\frac{2}{b}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\\\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}\)
=>\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{a+c}{ac}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}\)
Ta có đpcm
a. Phải là nhỏ hơn hẳn nhé, ko có dấu = đâu
CM:
a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2< c^2\Rightarrow a^2+b^2< c^2+2ab\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}< \sqrt{c^2+2ab}\)
cm tương tự ta có: \(VT< \sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{a^2+2bc}\)
Theo BĐT Bunhia \(\Rightarrow VT< \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{c^2+2ab}\)\(\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)}=\sqrt{3\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)\)
2, (cần cù bù thông minh) Quy đồng
\(\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|=...=\left|\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right|\) (chỗ ba chấm là bước quy đồng tự làm)
\(=\frac{\left|a-b\right|}{a+b}.\frac{\left|b-c\right|}{b+c}.\frac{\left|a-c\right|}{a+c}\)
\(\le\frac{ \left|a-b\right|}{2\sqrt{ab}}.\frac{\left|b-c\right|}{2\sqrt{bc}}.\frac{\left|a-c\right|}{2\sqrt{ca}}\left(Cauchy\right)\)
\(< \frac{c}{2\sqrt{ab}}.\frac{a}{2\sqrt{bc}}.\frac{b}{2\sqrt{ca}}\left(Bđt\Delta\right)\)
\(=\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)