Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đây là toán lớp 1 à bạn , lớp 1 chưa học số mũ đâu nhé
dễ mà ?
Theo BĐT Cauchy cho 2 số ta có :
\(b^2+c^2\ge2bc< =>\frac{a^2}{b^2+c^2}\le\frac{a^3}{2abc}\)
Tương tự ta được :\(\frac{b^2}{c^2+a^2}\le\frac{b^3}{2abc}\) ; \(\frac{c^2}{a^2+b^2}\le\frac{c^3}{2abc}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều :
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
\(< =>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(< =>a^2-2ab+b^2+a^2-2ca+c^2+b^2-2bc+c^2=0\)
\(< =>\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
có \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a-c\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
Ta có: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
Suy ra: a=b=c
\(P=1+\frac{x+3}{x^2+5x+6}:\left(\frac{8x^2}{4x^3-8x^2}-\frac{3x}{3x^2-12}-\frac{1}{x+2}\right)\)
\(P=1+\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}:\left(\frac{8x^2}{4x^3-8x^2}-\frac{3x}{3\left(x^2-4\right)}-\frac{1}{x+2}\right)\)
\(P=1+\frac{1}{x+2}:\left(\frac{4x^2.2}{4x^2\left(x-2\right)}-\frac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{1}{x+2}\right)\)
\(P=1+\frac{1}{x+2}:\left(\frac{2}{x-2}-\frac{x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right)\)
\(P=1+\frac{1}{x+2}:\left(\frac{2x+4-x-x+2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right)\)
\(P=1+\frac{1}{x+2}:\frac{6}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=1+\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{6\left(x+2\right)}=1+\frac{x-2}{6}\)
\(=\frac{x+4}{6}.P=0\Leftrightarrow x=-4\)
\(P>0\Leftrightarrow x>-4\)
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{ab+bc}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)